කුලක: කෙටි සටහන්

Grade 10 · Term 2 · Sets

96%

10 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (54න් 52)

711

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 120)

11 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

කුලකයක් විස්තර කිරීමක් ලෙස, අවයව ලැයිස්තුවක් ලෙස, කුලක ජනන ස්වරූපයෙන් හා වෙන් රූපයක් ඇසුරින් ලිවීම
ξ, ∈, ⊂, A', A ∪ B හා A ∩ B නිවැරදිව භාවිත කිරීම
කුලක දෙකක වෙන් රූපයක ඕනෑම ප්‍රදේශයක් අඳුරු කර, අංකනයෙන් නම් කර, වචනවලින් විස්තර කිරීම
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) සූත්‍රය යෙදීම
කුලක දෙකක් ආශ්‍රිත ගැටලු වෙන් රූප මගින් විසඳීම

ක්‍රිකට් ද? පාපන්දු ද?

මාතර පාසලක 10 ශ්‍රේණියේ සිසුන් 40 දෙනෙකුගෙන් 25 දෙනෙක් ක්‍රිකට් ද, 18 දෙනෙක් පාපන්දු ද, 8 දෙනෙක් දෙකම ද නරඹති. කිසිවක් නොනරඹන්නේ කී දෙනාද? 25 + 18 දැනටමත් 40 ට වඩා වැඩියි; ඒ නිසා සරලව එකතු කිරීම හරි නැහැ. කුලක හා එක් සරල රූපයකින් මෙය තත්පර කිහිපයකින් විසඳිය හැකියි.

කුලකයක් ලිවීමට ක්‍රම හතරක්

1 ත් 11 ත් අතර ඉරට්ටේ සංඛ්‍යා ගනිමු.• විස්තර කිරීමක් ලෙස: A යනු 1 ත් 11 ත් අතර ඉරට්ටේ සංඛ්‍යා කුලකයයි.• අවයව ලැයිස්තුවක් ලෙස: A = {2, 4, 6, 8, 10}• කුලක ජනන ස්වරූපයෙන්: A = {x : x ඉරට්ටේ සංඛ්‍යාවකි, 1 < x < 11}• වෙන් රූපයක් ඇසුරින්: අවයව සංවෘත වක්‍රයක් තුළ ලියයි.n(A) යනු අවයව ගණනයි: n(A) = 5.

කුලක ජනන ස්වරූපය කියවමු

{x : x පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි, 3 ≤ x < 8} කියවන්නේ: "3 සිට 8 ට අඩු, පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් වන පරිදි වූ සියලු x අගයන්ගේ කුලකය" ලෙසයි.එනම් {3, 4, 5, 6, 7}.ලකුණු ගැන සැලකිලිමත් වන්න: ≤ අන්ත සංඛ්‍යාව ඇතුළත් කරයි, < ඇතුළත් නොකරයි.

අවශ්‍ය සංකේත

• ξ සර්වත්‍ර කුලකය: අප සලකන සියල්ල• ∈ 'අවයවයකි': 4 ∈ A• B ⊂ A: B යනු A හි උප කුලකයකි (B හි සෑම අවයවයක්ම A හි ඇත)• A' A හි අනුපූරකය: A හි නැති ξ හි අවයව• A ∪ B මේලය: A හි හෝ B හි (හෝ දෙකෙහිම)• A ∩ B ඡේදනය: A හා B දෙකෙහිම

වෙන් රූපයක ප්‍රදේශ හතර

එකිනෙක කැපෙන වෘත්ත දෙකක් ξ කොටස් හතරකට බෙදයි: A පමණක් (A ∩ B'), දෙකම (A ∩ B), B පමණක් (A' ∩ B), දෙකටම පිටත (A ∪ B)'.

වචනවලින් කියමු

ප්‍රදේශ වචනවලින් විස්තර කරන්නට විභාගයේදී අසයි. ξ = පන්තියේ සිසුන්, G = ගැහැනු ළමුන්, D = නටන සිසුන් ලෙස ගනිමු.• G ∩ D: නටන ගැහැනු ළමුන්• G ∩ D': නොනටන ගැහැනු ළමුන්• G' ∩ D: නටන පිරිමි ළමුන් (G' = ගැහැනු නොවන = පිරිමි)• (G ∪ D)': නොනටන පිරිමි ළමුන්' යන්න නොවන ලෙසත් ∩ යන්න සහ ලෙසත් කියවන්න.

⚠️ අනුපූරක අඳුරු කිරීම

එක් සා.පෙළ ප්‍රශ්න පත්‍රයකදී A' ∪ B' නිවැරදිව අඳුරු කළේ අපේක්ෂකයන් 10 දෙනෙකුගෙන් එක් අයෙක් පමණි. පියවරෙන් පියවර සාදන්න: A' (A ට පිටත සියල්ල) අඳුරු කරන්න, ඉන්පසු B' (B ට පිටත සියල්ල). මේලය යනු අවම වශයෙන් එක් වරක් අඳුරු වූ සියලු කොටස්ය: එනම් ඡේදනය හැර අනෙක් සියල්ල. එබැවින් A' ∪ B' = (A ∩ B)'.එක් එක් ප්‍රදේශය වෙන වෙනම පරීක්ෂා කරන්න: එය A හි ද? B හි ද?

එක් කුලකයක් තවත් කුලකයක් තුළ

B හි සෑම අවයවයක්ම A හි ඇත්නම් B, A තුළ අඳින්න: B ⊂ A. එවිට A ∩ B = B ද A ∪ B = A ද වේ. තැඹිලි වළල්ල A ∩ B' (A හි ඇති, B හි නැති) වේ.

🧮 මේලයක අවයව ගණන

n(A) හා n(B) එකතු කළ විට ඡේදනයේ අවයව දෙවරක් ගණන් වේ; එබැවින් එය එක් වරක් අඩු කරන්න. මෙම සංඛ්‍යා හතරෙන් තුනක් දන්නා විට හතරවැන්න සෙවීමට මෙය යොදන්න.

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

✏️ නැවත ක්‍රිකට් පන්තියට

n(ξ) = 40, ක්‍රිකට් n(C) = 25, පාපන්දු n(F) = 18, දෙකම n(C ∩ F) = 8. ක්‍රීඩා දෙකෙන් කිසිවක් නොනරඹන්නේ කී දෙනාද?

1n(C ∪ F) = 25 + 18 − 8 = 35 දෙනෙක් අවම වශයෙන් එක් ක්‍රීඩාවක් නරඹති.
2කිසිවක් නොනරඹන අය = n(ξ) − n(C ∪ F) = 40 − 35 = 5.
3කුලක අංකනයෙන්: n((C ∪ F)') = 5.

✅ 5 students

⚠️ 'ක්‍රිකට් 25' තුළ 'දෙකම' අයත් ඇත

නිතර සිදු වන වැරැද්දක් නම් 25, 'ක්‍රිකට් පමණක්' කොටසේ ලිවීමයි. එම 25 තුළ දෙකම නරඹන 8 දෙනා ද සිටිති. ඡේදනය මුලින් පුරවා ඉන්පසු අඩු කරන්න: ක්‍රිකට් පමණක් = 25 − 8 = 17, පාපන්දු පමණක් = 18 − 8 = 10. අවසානයේ ප්‍රදේශ හතරේ එකතුව n(ξ) ට සමාන දැයි බලන්න: 17 + 8 + 10 + 5 = 40 ✓

✏️ සම්පූර්ණ වෙන් රූප ගැටලුවක්

මහනුවර පාසලක 10 ශ්‍රේණියේ සිසුන් 60 දෙනෙකුගෙන් 32 දෙනෙක් විද්‍යා සංගමයේ (S) ද, 25 දෙනෙක් ක්‍රීඩා සමාජයේ (C) ද, 12 දෙනෙක් දෙකෙහිම ද සාමාජිකයෝ වෙති. (i) කිසිවකට අයත් නොවන ගණන (ii) එකකට පමණක් අයත් ගණන (iii) n(S') සොයන්න.

1මුලින් ඡේදනය: n(S ∩ C) = 12.
2S පමණක් = 32 − 12 = 20; C පමණක් = 25 − 12 = 13.
3(i) කිසිවකට අයත් නොවන = 60 − (20 + 12 + 13) = 15.
4(ii) එකකට පමණක් = 20 + 13 = 33.
5(iii) S' යනු S ට පිටත සියල්ල: 13 + 15 = 28.

✅ (i) 15 (ii) 33 (iii) 28

📌 මතක තබා ගන්න

• කුලකයක් විස්තර කිරීමක් ලෙස, අවයව ලැයිස්තුවක් ලෙස, ජනන ස්වරූපයෙන් {x : ...} හෝ වෙන් රූපයකින් දැක්විය හැක.• ' = නොවන, ∩ = සහ (දෙකම), ∪ = හෝ (අවම වශයෙන් එකක්).• මුලින් ඡේදනය, ඉන්පසු 'පමණක්' කොටස්, අවසානයේ 'කිසිවක් නැති' කොටස පුරවන්න.• n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).• පරීක්ෂාව: ප්‍රදේශ හතරේ එකතුව n(ξ) ට සමානයි.

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

ξ යනු කුමක්ද?	සර්වත්‍ර කුලකය: සලකා බලන සියලු අවයව.
A ∩ B යනු?	ඡේදනය: A හා B දෙකෙහිම ඇති අවයව.
A ∪ B යනු?	මේලය: A හෝ B හෝ දෙකෙහිම ඇති අවයව.
A' යනු?	අනුපූරකය: A හි නැති ξ හි අවයව.
n(A ∪ B) සඳහා සූත්‍රය	n(A) + n(B) − n(A ∩ B) (ඡේදනය එක් වරක් අඩු කරන්න)
A ∩ B' වචනවලින්	A හි ඇති නමුත් B හි නැති (A පමණක්).
B ⊂ A නම් A ∩ B හා A ∪ B කුමක්ද?	A ∩ B = B ද A ∪ B = A ද වේ.
{x : x ඔත්තේ සංඛ්‍යාවකි, 1 ≤ x ≤ 9} අවයව ලෙස ලියන්න	{1, 3, 5, 7, 9} (අවයව 5)
A' ∪ B' ට සමාන වන්නේ…	(A ∩ B)': ඡේදනය හැර අනෙක් සියල්ල.