වෘත්තයක ජ්‍යා: කෙටි සටහන්

Grade 10 · Term 3 · Chords of a Circle

44%

10 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (54න් 24)

151

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 35)

10 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

ජ්‍යායක්, එහි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය හා කේන්ද්‍රයේ සිට ඇඳි ලම්බය හඳුනා ගැනීම
කේන්ද්‍රය හා ජ්‍යායක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය යා කරන රේඛාව ජ්‍යායට ලම්බ වන බව ප්‍රකාශ කර යෙදීම
විලෝමය ප්‍රකාශ කර යෙදීම: කේන්ද්‍රයේ සිට ජ්‍යායට ඇඳි ලම්බය ජ්‍යාය සමච්ඡේදනය කරයි
ජ්‍යා ප්‍රමේය පයිතගරස් ප්‍රමේයය සමඟ යොදා දිග සෙවීම
ප්‍රමේය භාවිතයෙන් කෝණ සෙවීම හා කෙටි සාධන ලිවීම

ළිඳ කොතරම් පළල ද?

කුරුණෑගල ගමක, වටකුරු ළිඳක කට හරහා මීටර 1.6 ක ලෑල්ලක් තබා ඇත; එහි කෙළවර දෙකම ළිං බැම්මේ ගැටේ. ලෑල්ලේ මැද ළිඳේ කේන්ද්‍රයේ සිට මීටර 0.6 ක් දුරින් පිහිටයි. ගැඹුරු ජලය හරහා කිසිවෙකුට මැනිය නොහැකියි. නමුත් එක් වෘත්ත ප්‍රමේයයක් හා පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙන් ළිඳේ පළල මිනිත්තුවකින් සෙවිය හැකියි.

ජ්‍යායක් යනු කුමක්ද?

වෘත්තයක් මත ලක්ෂ්‍ය දෙකක් යා කරන සරල රේඛා ඛණ්ඩයක් ජ්‍යායකි. ළිඳ මත ඇති ලෑල්ල ජ්‍යායකි.• දිගම ජ්‍යාය කේන්ද්‍රය හරහා යයි: එය විෂ්කම්භයයි.• AB ජ්‍යායේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය යනු AM = MB වන M ලක්ෂ්‍යයයි.• OM යනු කේන්ද්‍රය O සිට එම මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයට ඇඳි රේඛාවයි.

ප්‍රධාන රූපය

O කේන්ද්‍රයයි; M, AB ජ්‍යායේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයයි (තැඹිලි සලකුණුවලින් AM = MB බව පෙන්වයි). රතු පැහැති OM රේඛාව AB සමඟ සෘජුකෝණයක් සාදයි.

ප්‍රමේයය: කේන්ද්‍රයේ සිට මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයට

වෘත්තයක කේන්ද්‍රය හා ජ්‍යායක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය යා කරන සරල රේඛාව එම ජ්‍යායට ලම්බ වේ.ඇයි? OAM හා OBM ත්‍රිකෝණවල: OA = OB (අරයන්), AM = BM (M මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය), OM පොදු පාදය. එබැවින් ත්‍රිකෝණ අංගසම වේ (පා.පා.පා.); ∠OMA = ∠OMB. ඒවා සරල රේඛාවක් මත ඇති නිසා එක් එක් කෝණය 90° වේ.

විලෝමය

වෘත්තයක කේන්ද්‍රයේ සිට ජ්‍යායකට ඇඳි ලම්බය එම ජ්‍යාය සමච්ඡේදනය කරයි.එනම් OM ⊥ AB නම් AM = MB වේ.ප්‍රයෝජනවත් ප්‍රතිඵලයක්: ඕනෑම ජ්‍යායක ලම්බ සමච්ඡේදකය කේන්ද්‍රය හරහා යයි. කඩදාසි වෘත්තයක් ජ්‍යායක් එය මතම වැටෙන සේ නැවූ විට, නැමුම් රේඛාව කේන්ද්‍රය හරහා යයි.

🧮 ජ්‍යාය + පයිතගරස්

OMA ත්‍රිකෝණයේ M හි සෘජුකෝණයක් ඇත. OA අරයයි (කර්ණය), OM කේන්ද්‍රයේ සිට දුර, AM ජ්‍යායෙන් භාගයයි. ඕනෑම දෙකක් දන්නේ නම් තුන්වැන්න සෙවිය හැක.

OA² = OM² + AM² (AM = ½ AB)

✏️ අරය සොයන්න

දිග 16 cm වූ AB ජ්‍යාය කේන්ද්‍රය O සිට 6 cm දුරින් පිහිටයි. අරය සොයන්න.

1OM ⊥ AB අඳින්න. කේන්ද්‍රයේ සිට ඇඳි ලම්බය ජ්‍යාය සමච්ඡේදනය කරන නිසා AM = 8 cm.
2සෘජුකෝණී OMA ත්‍රිකෝණයේ: OA² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
3OA = √100 = 10 cm

✅ 10 cm

⚠️ මුළු ජ්‍යාය නොව, එහි භාගය

සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයට ගන්නේ ජ්‍යායෙන් භාගයයි. පයිතගරස් ප්‍රමේයයට 8 වෙනුවට 16 යෙදීම වාර විභාගවල බහුලම වැරැද්දයි. තවත් දෙකක්:• වර්ග කිරීම වෙනුවට පාද එකතු කිරීම (6 + 8 = 14).• මුළු ජ්‍යාය අසා ඇති විට භාගයෙන් නතර වීම.මුලින්ම ඔබේ රූපයේ සෘජුකෝණය හා ජ්‍යායෙන් භාගය සලකුණු කරන්න.

✏️ නැවත ළිඳට

මීටර 1.6 ලෑල්ල ජ්‍යායකි; එහි මැද කේන්ද්‍රයේ සිට මීටර 0.6 ක් දුරින් ඇත. ළිඳේ විෂ්කම්භය සොයන්න.

1කේන්ද්‍රයේ සිට ලෑල්ලේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයට රේඛාව ලෑල්ලට ලම්බයි. ලෑල්ලෙන් භාගය = 0.8 m.
2r² = 0.6² + 0.8² = 0.36 + 0.64 = 1
3r = 1 m; එබැවින් විෂ්කම්භය = 2 × 1 = 2 m.

✅ 2 m

⚠️ ‘පෙනෙන නිසා’ නොව, හේතුව දෙන්න

M මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය වන විට OM ⊥ AB බව ප්‍රකාශ කිරීමට නොහැකි වීම, හෝ OA = OB නිසා OAB සමද්විපාද බව නොදැකීම පරීක්ෂකයන් වාර්තා කරයි. පෙනෙන නිසා සෘජුකෝණයක් යැයි කිසිදා උපකල්පනය නොකරන්න. හේතුව වචනවලින් ලියන්න: ‘කේන්ද්‍රය හා ජ්‍යායේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය යා කරන රේඛාව’ හෝ ‘කේන්ද්‍රයේ සිට ජ්‍යායට ඇඳි ලම්බය ජ්‍යාය සමච්ඡේදනය කරයි’.

📌 මතක තබා ගන්න

• කේන්ද්‍රය සිට ජ්‍යායේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයට රේඛාව ⇒ ජ්‍යායට ලම්බයි.• කේන්ද්‍රයේ සිට ලම්බය ⇒ ජ්‍යාය සමච්ඡේදනය කරයි.• සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණය: අරය² = දුර² + (ජ්‍යායෙන් භාගය)².• OA = OB (අරයන්) නිසා සමද්විපාද ත්‍රිකෝණයක් ලැබේ: කෝණ සෙවීමට යොදන්න.• සාධනවලදී ප්‍රමේයය හේතුව ලෙස ලියන්න.

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

ජ්‍යායක් යනු කුමක්ද?	වෘත්තයක් මත ලක්ෂ්‍ය දෙකක් යා කරන සරල රේඛා ඛණ්ඩයක්.
කේන්ද්‍රය හා ජ්‍යායක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය යා කරන රේඛාව...	...ජ්‍යායට ලම්බ වේ.
කේන්ද්‍රයේ සිට ජ්‍යායකට ඇඳි ලම්බය...	...ජ්‍යාය සමච්ඡේදනය කරයි.
වෘත්තයක දිගම ජ්‍යාය කුමක්ද?	විෂ්කම්භය.
අරය r, කේන්ද්‍රයේ සිට දුර d: ජ්‍යායෙන් භාගය?	භාගය = √(r² − d²)
ජ්‍යායක ලම්බ සමච්ඡේදකය යන්නේ කොහි හරහාද?	වෘත්තයේ කේන්ද්‍රය හරහා.

දැන් ඔබම පරීක්ෂා කරන්න: කෙටි ප්‍රශ්න 4ක්, තවත් විසඳූ උදාහරණ 2ක්

සම්පූර්ණ පාඩම ඔබේ පිළිතුරු පරීක්ෂා කරන අතර ගෙදර සර් ඔබ ඉගෙන ගත් කොටස් සටහන් කරයි.

📖 විනාඩි 10 පාඩම නොමිලේ ▶ පසුගිය ප්‍රශ්න 5ක් පුහුණු වන්න