නිර්මාණ: කෙටි සටහන්

Grade 11 · Term 3 · Constructions

48%

11 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (61න් 29)

290

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 29)

11 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

කේන්ද්‍රයක් පිහිටුවීමට ලම්බ සමච්ඡේදකය හා කෝණ සමච්ඡේදකය පථ ලෙස යොදා ගැනීම
ත්‍රිකෝණයක පරිවෘත්තය, අන්තර්වෘත්තය හා බාහිර වෘත්තයක් නිර්මාණය කිරීම
වෘත්තයක් මත ලක්ෂ්‍යයක ස්පර්ශකය නිර්මාණය කිරීම
බාහිර ලක්ෂ්‍යයක සිට ස්පර්ශක දෙක නිර්මාණය කර හේතුව දැක්වීම
දී ඇති ලක්ෂ්‍යයකදී රේඛාවක් ස්පර්ශ කරමින් වෙනත් ලක්ෂ්‍යයක් හරහා යන වෘත්තයක් නිර්මාණය කිරීම

විශාලතම වටකුරු මල් පාත්තිය

මාතලේ නගර සභාවකට ත්‍රිකෝණාකාර මාර්ග දූපතක් ඇත. එහි දාර තුනම ස්පර්ශ කරන විශාලතම වටකුරු මල් පාත්තිය සෑදීමට ඔවුන්ට අවශ්‍යයි. කේන්ද්‍රය කොතැනද? එය කොතරම් විශාල විය හැකිද? අනුමාන කිරීමට ඉඩ නැත: සරල දාරයක්, කවකටුවක් හා අද පාඩමේ නිර්මාණ පමණයි.

පථ දෙකක් සියල්ල කරයි

• A හා B ලක්ෂ්‍ය දෙකකට සම දුරින් ඇති ලක්ෂ්‍ය AB හි ලම්බ සමච්ඡේදකය මත පිහිටයි.• රේඛා දෙකකට සම දුරින් ඇති ලක්ෂ්‍ය ඒවා අතර කෝණයේ සමච්ඡේදකය මත පිහිටයි.කේන්ද්‍රයක් කොන්දේසි දෙකක් සපුරාලිය යුතු නිසා පථ දෙකක් නිර්මාණය කර ඒවා හමු වන ලක්ෂ්‍යය ගන්න.සරල දාරය හා කවකටුව පමණක් යොදන්න; නිර්මාණ චාප මකන්න එපා.

පරිවෘත්තය: ශීර්ෂ තුනම හරහා

පරිවෘත්තය A, B හා C හරහා යයි.එහි කේන්ද්‍රය A, B, C ට සම දුරින් ඇති නිසා පාදවල ලම්බ සමච්ඡේදක මත පිහිටයි.1. පාද දෙකක ලම්බ සමච්ඡේදක නිර්මාණය කරන්න.2. ඒවා හමු වන O ලක්ෂ්‍යය පරිකේන්ද්‍රයයි.3. O කේන්ද්‍රය හා OA අරය ලෙස ගෙන වෘත්තය අඳින්න.සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක O පිහිටන්නේ කර්ණයේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේය.

පරිවෘත්තය

තැඹිලි කඩ ඉරි AB හා BC හි ලම්බ සමච්ඡේදක වේ. ඒවා O හිදී හමු වේ; OB අරයයි.

✏️ සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක්

AB = 6 cm, BC = 8 cm, AC = 10 cm වූ ABC ත්‍රිකෝණය හා එහි පරිවෘත්තය නිර්මාණය කරන්න. මැනීමෙන් තොරව අරය සොයන්න.

1AC = 10 cm අඳින්න. A සිට 6 cm හා C සිට 8 cm චාප B හිදී හමු වේ.
2AB හා BC හි ලම්බ සමච්ඡේදක නිර්මාණය කරන්න. ඒවා O හිදී හමු වේ.
36² + 8² = 100 = 10² නිසා ∠ABC = 90°; AC කර්ණයයි.
4O, AC හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය නිසා අරය = 10 ÷ 2 = 5 cm.

✅ 5 cm

අන්තර්වෘත්තය: පාද තුනම ස්පර්ශ කරයි

අන්තර්වෘත්තය ත්‍රිකෝණය තුළ පිහිටා පාද තුනම ස්පර්ශ කරයි: මල් පාත්තිය එයයි!එහි කේන්ද්‍රය පාදවලට (රේඛාවලට) සම දුරින් ඇති නිසා කෝණ සමච්ඡේදක මත පිහිටයි.1. කෝණ දෙකක් සමච්ඡේදනය කරන්න; ඒවා හමු වන I අන්තඃකේන්ද්‍රයයි.2. I සිට එක් පාදයකට ලම්බයක් නිර්මාණය කරන්න; එය පාදය N හිදී හමු වේ.3. අරය = IN. වෘත්තය අඳින්න.

අන්තර්වෘත්තය

∠A හා ∠B හි සමච්ඡේදක I හිදී හමු වේ. IN ලම්බයෙන් නිවැරදි අරය ලැබේ.

බාහිර වෘත්තය: ත්‍රිකෝණයෙන් පිටත

බාහිර වෘත්තයක් එක් පාදයක් (උදා: BC) හා අනෙක් පාද දෙක දික් කළ කොටස් ස්පර්ශ කරයි.1. AB හා AC, B හා C න් ඔබ්බට දික් කරන්න.2. B හා C හි බාහිර කෝණ දෙක සමච්ඡේදනය කරන්න. ඒවා කේන්ද්‍රය E හිදී හමු වේ.3. අරය සඳහා E සිට BC ට (හෝ දික් කළ පාදයකට) ලම්බයක් අඳින්න.සෑම ත්‍රිකෝණයකටම ශීර්ෂයකට එකක් බැගින් බාහිර වෘත්ත තුනක් ඇත.

⚠️ සමච්ඡේදක පටලැවීම, අරය අනුමාන කිරීම

පරීක්ෂකයන් නිතර දකින දේ:• ‘ලක්ෂ්‍ය දෙකකට සම දුරින්’ යැයි ඇති විට කෝණ සමච්ඡේදකය යෙදීම (ලම්බ සමච්ඡේදකය විය යුතුය), හා අනෙක් අතට.• අන්තර්වෘත්තයේ අරය උත්සාහයෙන් සෙවීම. කේන්ද්‍රයේ සිට පාදයට ලම්බය නිර්මාණය කරන්න.• කෝණමානය භාවිතය. සරල දාරය හා කවකටුව පමණක් ඉඩ දේ.

වෘත්තය මත ලක්ෂ්‍යයක ස්පර්ශකය

ස්පර්ශකය, ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේදී අරයට ලම්බ වේ.T හි ස්පර්ශකය ඇඳීමට:1. OT යා කර T න් ඔබ්බට දික් කරන්න.2. T හිදී OT ට ලම්බයක් නිර්මාණය කරන්න.එම රේඛාව වෘත්තය ස්පර්ශ කරන්නේ T හි පමණි.

✏️ බාහිර ලක්ෂ්‍යයක සිට ස්පර්ශක

O කේන්ද්‍රය හා අරය 5 cm වූ වෘත්තයක් ඇත. P ලක්ෂ්‍යය O සිට 13 cm දුරින් ඇත. P සිට ස්පර්ශක නිර්මාණය කර ඒවායේ දිග සොයන්න.

1OP යා කරන්න. මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය M සෙවීමට එහි ලම්බ සමච්ඡේදකය නිර්මාණය කරන්න.
2M කේන්ද්‍රය හා MO අරය ලෙස ගෙන වෘත්තයක් අඳින්න. එය දී ඇති වෘත්තය T₁ හා T₂ හිදී ඡේදනය කරයි.
3PT₁ හා PT₂ යා කරන්න: ඒවා ස්පර්ශක වේ.
4හේතුව: ∠OT₁P අර්ධ වෘත්තයක කෝණයක් නිසා 90° වේ. එබැවින් PT₁ අරයට ලම්බයි.
5PT₁² = 13² − 5² = 144; එබැවින් PT₁ = PT₂ = 12 cm.

✅ 12 cm

⚠️ ස්පර්ශක ඇසින් බලා අඳින්න එපා

මෙම පාඩමේ සා.පෙළ විභාගයේ නිතරම සිදු වන වැරැද්ද: බාහිර ලක්ෂ්‍යයක සිට ස්පර්ශක නිර්මාණය කිරීමට නොහැකිව, කෝදුව ‘ස්පර්ශ වන තුරු’ ලිස්සීම. එයට නිර්මාණ ලකුණු නොලැබේ. සැම විටම OP සමච්ඡේදනය කර, OP විෂ්කම්භය ලෙස වෘත්තය ඇඳ, හේතුව ලියන්න: අර්ධ වෘත්තයක කෝණය 90° කි.

📌 මතක තබා ගන්න

• ලක්ෂ්‍ය දෙකකට සම දුර → ලම්බ සමච්ඡේදකය. රේඛා දෙකකට → කෝණ සමච්ඡේදකය.• පරිවෘත්තය: පාදවල ලම්බ සමච්ඡේදක. අන්තර්වෘත්තය: කෝණ සමච්ඡේදක; අරය ලම්බයකින්.• බාහිර වෘත්තය: බාහිර කෝණ දෙකක සමච්ඡේදක.• ස්පර්ශකය ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේදී අරයට ලම්බයි.• P සිට ස්පර්ශක: OP විෂ්කම්භය ලෙස වෘත්තය; අර්ධ වෘත්තයක කෝණය = 90°.

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

A හා B ලක්ෂ්‍ය දෙකට සම දුරින් ඇති ලක්ෂ්‍යවල පථය	AB හි ලම්බ සමච්ඡේදකය.
ඡේදනය වන රේඛා දෙකකට සම දුරින් ඇති ලක්ෂ්‍යවල පථය	රේඛා අතර කෝණයේ සමච්ඡේදකය.
පරිවෘත්තයේ කේන්ද්‍රය	පාදවල ලම්බ සමච්ඡේදක හමු වන ලක්ෂ්‍යය.
අන්තර්වෘත්තයේ කේන්ද්‍රය	අභ්‍යන්තර කෝණ සමච්ඡේදක හමු වන ලක්ෂ්‍යය.
ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේදී ස්පර්ශකය හා අරය අතර කෝණය	සෘජුකෝණයක්: 90°
බාහිර ලක්ෂ්‍යය P සිට ස්පර්ශක සඳහා ප්‍රධාන පියවර	OP සමච්ඡේදනය කර OP විෂ්කම්භය ලෙස වෘත්තය අඳින්න.
බාහිර වෘත්තයක කේන්ද්‍රය	බාහිර කෝණ දෙකක සමච්ඡේදක හමු වන ලක්ෂ්‍යය.