මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රමේයය: කෙටි සටහන්

Grade 11 · Midpoint Theorem

67%

11 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (61න් 41)

348

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 62)

10 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රමේයය හා එහි විලෝමය ප්‍රකාශ කිරීම
DE = ½ BC යොදා දිග හා පරිමිති සෙවීම
DE ∥ BC යොදා කෝණ සෙවීම
විලෝමය යොදා ලක්ෂ්‍යයක් මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයක් බව පෙන්වීම
සමාන්තරාස්‍රයක් බව පෙන්වීම වැනි කෙටි සාධන හේතු සහිතව ලිවීම

වඩුබාස්ගේ කෙටි ක්‍රමය

මොරටුවේ වඩුබාස් කෙනෙක් ත්‍රිකෝණාකාර වහල රාමුවක් සාදයි. ඔහු එක් පරාලයක මැද සිට අනෙක් පරාලයේ මැදට හරස් ලෑල්ලක් ගසයි. නොමැන ම, ඒ ලෑල්ල පාදයට සමාන්තර බවත් හරියටම එහි දිගින් අඩක් බවත් ඔහු දනී. කොහොමද? එක් සරල ප්‍රමේයයකින්.

මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රමේයය

D යනු AB හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය ද, E යනු AC හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය ද වේ (සමාන සලකුණු මගින් සමාන කොටස් දැක්වේ). තැඹිලි පැහැති DE රේඛාව BC ට සමාන්තර වන අතර (ඊතල) එහි දිගින් අඩකි.

ප්‍රමේයය ලෙස ප්‍රකාශ කරමු

ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය යා කරන රේඛාව තුන්වන පාදයට සමාන්තර වන අතර, එහි දිග තුන්වන පාදයේ දිගින් අඩකට සමාන වේ.ABC ත්‍රිකෝණයේ AD = DB හා AE = EC නම්,DE ∥ BC හා DE = ½ BC.වාර විභාගවල මෙම ප්‍රකාශය ලිවීමට බොහෝවිට අසයි; එබැවින් එය නිවැරදිව කටපාඩම් කරන්න.

✏️ දිග හා පරිමිති

ABC ත්‍රිකෝණයේ AB = 10 cm, AC = 12 cm හා BC = 14 cm වේ. D හා E යනු AB හා AC හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය වේ. (i) DE (ii) ADE ත්‍රිකෝණයේ පරිමිතිය (iii) BCED ත්‍රපීසියමේ පරිමිතිය සොයන්න.

1(i) DE = ½ × BC = ½ × 14 = 7 cm (මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රමේයය)
2AD = DB = 5 cm හා AE = EC = 6 cm
3(ii) ADE ත්‍රිකෝණයේ පරිමිතිය = 5 + 6 + 7 = 18 cm (36 cm න් අඩක්)
4(iii) BCED ත්‍රපීසියමේ පරිමිතිය = DB + BC + CE + ED = 5 + 14 + 6 + 7 = 32 cm

✅ (i) 7 cm (ii) 18 cm (iii) 32 cm

⚠️ පරිමිතිය සම්පූර්ණ කරන්න

එක් සා.පෙළ ප්‍රශ්න පත්‍රයක බොහෝ අපේක්ෂකයන් DE නිවැරදිව සොයා එතැනින් නැවතුණා, නැතහොත් BCED ත්‍රපීසියමේ පාදයක් අමතක කළා. ත්‍රපීසියමට පාද හතරක් ඇත: DB, BC, CE හා ED. එකතු කිරීමට පෙර ඒවා ලියා ගන්න. DB හා CE යනු AB හා AC හි අඩ මිස මුළු පාද නොවන බව මතක තබා ගන්න.

මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය තුනම යා කරමු

ත්‍රිකෝණයක පාද තුනේම මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය යා කරන්න. මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රමේයයෙන්, කුඩා ත්‍රිකෝණයේ සෑම පාදයක්ම විශාල ත්‍රිකෝණයේ පාදයකින් අඩකි. එබැවින්:• මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය ත්‍රිකෝණයේ පරිමිතිය මුල් පරිමිතියෙන් අඩකි• විශාල ත්‍රිකෝණය අංගසම ත්‍රිකෝණ 4 කට බෙදේ.

විලෝමය

ත්‍රිකෝණයක එක් පාදයක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය හරහා තවත් පාදයකට සමාන්තරව ඇඳි සරල රේඛාව තුන්වන පාදය සමච්ඡේදනය කරයි.D යනු AB හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය වන අතර D හරහා රේඛාව BC ට සමාන්තර නිසා එය AC හමු වන්නේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය E හිදීය: AE = EC.

✏️ විලෝමය යෙදීම

PQR ත්‍රිකෝණයේ M යනු PQ හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයයි. M හරහා QR ට සමාන්තරව ඇඳි රේඛාව PR, N හිදී හමු වේ. PR = 16 cm හා QR = 10 cm නම් PN හා MN සොයන්න.

1M, PQ හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය හා MN ∥ QR නිසා N යනු PR හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයයි (මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රමේයයේ විලෝමය).
2PN = ½ × 16 = 8 cm
3දැන් M හා N දෙකම මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය නිසා MN = ½ QR = 5 cm (මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රමේයය).

✅ PN = 8 cm, MN = 5 cm

⚠️ 'සමාන්තර' කොටස අමතක කරන්න එපා

බොහෝ සිසුන් DE = ½ BC පමණක් යොදා DE ∥ BC බව මඟහරින බව පරීක්ෂකයන් වාර්තා කරයි. සමාන්තර රේඛාවෙන් අනුරූප කෝණ, ඒකාන්තර කෝණ, සමහරවිට සෘජුකෝණයක් පවා ලැබේ. මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය දෙකක් යා කළ විට කරුණු දෙකම එකවර ලියන්න.

⚠️ සාධනයකට හේතු අවශ්‍යයි

'DE ∥ BC, EF ∥ AB' ලෙස පමණක් ලියූ සාධනයකට ලකුණු අඩු වේ. සෑම පේළියකටම වරහන් තුළ හේතුව ලියන්න: (මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රමේයය), (මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රමේයයේ විලෝමය), (අනුරූප කෝණ), (පා.කෝ.පා.)... ඔබ යොදන්නේ කුමන ත්‍රිකෝණයද යන්නත් ලියන්න: 'ABC ත්‍රිකෝණයේ D හා E යනු AB හා AC හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය වේ'.

📌 මතක තබා ගන්න

• පාද දෙකක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය යා කළ විට → තුන්වන පාදයට සමාන්තර හා එහි අඩක්.• විලෝමය: මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයක් හරහා පාදයකට සමාන්තර රේඛාව → තුන්වන පාදය සමච්ඡේදනය කරයි.• කරුණු දෙකම යොදන්න: ½ න් දිග, ∥ න් කෝණ.• මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය ත්‍රිකෝණය: පරිමිතිය අඩක්, අංගසම ත්‍රිකෝණ 4 ක්.• සාධනවලදී ත්‍රිකෝණය නම් කර සෑම පියවරකටම හේතුව දෙන්න.

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රමේයය ප්‍රකාශ කරන්න	ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය යා කරන රේඛාව තුන්වන පාදයට සමාන්තර වන අතර එහි දිගින් අඩකි.
මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රමේයයේ විලෝමය ප්‍රකාශ කරන්න	එක් පාදයක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය හරහා තවත් පාදයකට සමාන්තර රේඛාව තුන්වන පාදය සමච්ඡේදනය කරයි.
D, E යනු AB, AC හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය. BC = 18 cm. DE = ?	DE = 9 cm
මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය ත්‍රිකෝණයේ පරිමිතිය	මුල් ත්‍රිකෝණයේ පරිමිතියෙන් අඩක්
චතුරස්‍රයක පාදවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය යා කළ විට ලැබෙන්නේ…	සමාන්තරාස්‍රයක්; එහි පරිමිතිය විකර්ණ දෙකේ එකතුවට සමානයි

දැන් ඔබම පරීක්ෂා කරන්න: කෙටි ප්‍රශ්න 5ක්, තවත් විසඳූ උදාහරණ 1ක්

සම්පූර්ණ පාඩම ඔබේ පිළිතුරු පරීක්ෂා කරන අතර ගෙදර සර් ඔබ ඉගෙන ගත් කොටස් සටහන් කරයි.

📖 විනාඩි 10 පාඩම නොමිලේ ▶ පසුගිය ප්‍රශ්න 5ක් පුහුණු වන්න