සමාන්තර රේඛා අතර තල රූපවල වර්ගඵලය: කෙටි සටහන්

Grade 11 · Term 1 · Area of Plane Figures between Parallel Lines

56%

11 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (61න් 34)

298

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 45)

11 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

එකම පාදය මත, එකම සමාන්තර රේඛා අතර සමාන්තරාස්‍රවල වර්ගඵල සමාන බව යෙදීම
එකම පාදය මත, එකම සමාන්තර රේඛා අතර ත්‍රිකෝණය සමාන්තරාස්‍රයෙන් අඩක් බව යෙදීම
එකම පාදය මත, එකම සමාන්තර රේඛා අතර ත්‍රිකෝණවල වර්ගඵල සමාන බව හා එහි විලෝමය යෙදීම
වර්ගඵල, පාද, උස හා පොදු උසක් ඇති ත්‍රිකෝණවල වර්ගඵල අනුපාත සෙවීම
සම්පූර්ණ හේතු සහිතව වර්ගඵල සාධන ලිවීම

එකම මුහුණත, එකම ඉඩම?

කුරුණෑගල අසල මාර්ගයක් හා සෘජු ඇළක් සමාන්තරව දිවෙයි. ඉඩම් කැබලි දෙකකටම මාර්ගය දෙසට මීටර් 20 ක මුහුණතක් ඇති අතර දෙකම ඇළ දක්වා විහිදේ. එකක් සෘජුකෝණාස්‍රයකි; අනෙක ඇලවී ඇත. ඇල ඉඩම විශාල බව විකුණන්නා කියයි. ඔහු හරිද? ජ්‍යාමිතියට අනුව දෙකම හරියටම සමානයි.

'එකම සමාන්තර රේඛා යුගලය අතර'

රූපයක පාදය එක් රේඛාවක් මතත්, සම්මුඛ පාදය (හෝ ශීර්ෂය) අනෙක් රේඛාව මතත් පිහිටයි නම් එය සමාන්තර රේඛා දෙකක් අතර පිහිටයි.එවිට එහි ලම්බ උස රේඛා දෙක අතර දුරයි; එම දුර සෑම තැනකම සමානයි.එබැවින් එකම පාදය මත, එකම සමාන්තර රේඛා අතර ඇති රූපවලට එකම පාදයත් එකම උසත් ඇත.

ප්‍රමේයය 1: සමාන්තරාස්‍ර දෙකක්

ABCD හා ABEF සමාන්තරාස්‍ර එකම AB පාදය මත, AB හා DE සමාන්තර රේඛා අතර පිහිටයි. දෙකෙහිම වර්ගඵලය = පාදය × උස = AB × h, එබැවින් වර්ගඵල සමානයි.

ප්‍රමේයය 2: ත්‍රිකෝණය හා සමාන්තරාස්‍රය

ABE ත්‍රිකෝණය හා ABCD සමාන්තරාස්‍රය එකම AB පාදය මත, AB හා DC අතර පිහිටයි. ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය ½ × AB × h නිසා, E, DC මත කොතැනක තිබුණත් එය සමාන්තරාස්‍රයෙන් අඩකි.

🧮 ප්‍රධාන සම්බන්ධය

ත්‍රිකෝණයක් හා සමාන්තරාස්‍රයක් එකම පාදය මත, එකම සමාන්තර රේඛා අතර ඇති විට මෙය යොදන්න. අමතරව: ඉතිරි ත්‍රිකෝණ දෙක, ADE හා BCE, එකතුව අනෙක් අඩයි.

△ABE = ½ × ABCD

ප්‍රමේයය 3: ත්‍රිකෝණ දෙකක්

CD ∥ AB නම් ABC හා ABD ත්‍රිකෝණ එකම AB පාදය මත එකම සමාන්තර රේඛා අතර පිහිටන නිසා වර්ගඵලයෙන් ABC = ABD. එක එකක් AB මත ඇති සමාන්තරාස්‍රයක අඩකි.

⚠️ පාදය හා සමාන්තර රේඛා නම් කරන්න

සා.පෙළ ප්‍රශ්න පත්‍රවල බොහෝ අපේක්ෂකයන්ට ත්‍රිකෝණය සමාන්තරාස්‍රයේ අඩක් බව නොපෙනුණි; නැතහොත් හේතුවක් නැතිව 'වර්ගඵල සමානයි' ලිවූහ. සෑම පියවරකම සම්පූර්ණ හේතුව ලියන්න: එකම AB පාදය මත හා එකම AB, DC සමාන්තර රේඛා අතර. පාදයත් රේඛා දෙකත් නම් කළ නොහැකි නම් තවම ප්‍රමේයය යෙදිය නොහැක.

✏️ ත්‍රපීසියමක සාධනයක්

ABCD ත්‍රපීසියමේ AB ∥ DC වේ. එහි AC හා BD විකර්ණ O හිදී හමු වේ. AOD හා BOC ත්‍රිකෝණවල වර්ගඵල සමාන බව සාධනය කරන්න.

1ABD හා ABC ත්‍රිකෝණ එකම AB පාදය මත, AB හා DC සමාන්තර රේඛා අතර ඇත.
2එබැවින් ABD වර්ගඵලය = ABC වර්ගඵලය.
3දෙකෙහිම AOB ත්‍රිකෝණය ඇත. එය දෙපසින්ම අඩු කරන්න.
4ABD − AOB = AOD හා ABC − AOB = BOC.
5එබැවින් වර්ගඵලයෙන් AOD = BOC.

✅ △AOD = △BOC (proved)

විලෝමය

මෙය ආපසු ද සත්‍යයි: එකම පාදය මත, එහි එකම පැත්තේ පිහිටි ත්‍රිකෝණ දෙකක වර්ගඵල සමාන නම් ඒවායේ ශීර්ෂ යා කරන රේඛාව පාදයට සමාන්තරයි.ඇයි? එකම පාදය මත වර්ගඵල සමාන නම් උස සමානයි; එබැවින් ශීර්ෂ දෙකම පාදයේ සිට එකම දුරින් ඇත.

එකම උස: වර්ගඵල පාදවලට අනුව

ABD හා ADC ත්‍රිකෝණවලට A ශීර්ෂය හා h උස පොදුයි. එබැවින් වර්ගඵල පාදවල අනුපාතයට ඇත: BD : DC = 2 : 3 නම් ABD : ADC = 2 : 3. මධ්‍යස්ථයක් (D මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය) ත්‍රිකෝණය සමාන කොටස් දෙකකට බෙදයි.

⚠️ ½ අමතක කිරීම

වර්ගඵලය 30 cm² හා උස 6 cm වූ ත්‍රිකෝණයක පාදය අසූ විට බොහෝ දෙනා 30 ÷ 6 = 5 ලියති. නමුත් වර්ගඵලය = ½ × පාදය × උස, එබැවින් 30 = ½ × b × 6 = 3b, එනම් b = 10 cm. සමාන්තරාස්‍රයකට ½ නැත: පාදය = වර්ගඵලය ÷ උස.

✏️ සියල්ල එකට

ABCD සමාන්තරාස්‍රයේ වර්ගඵලය 80 cm² කි. P යනු AB මත ලක්ෂ්‍යයක් ද Q යනු DC හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය ද වේ. (i) PDC වර්ගඵලය (ii) APD + PBC වර්ගඵලය (iii) PQC වර්ගඵලය (iv) DC = 10 cm නම් AB හා DC අතර දුර සොයන්න.

1(i) PDC: එකම DC පාදය, DC ∥ AB අතර, එබැවින් ½ × 80 = 40 cm².
2(ii) සමාන්තරාස්‍රයේ ඉතිරිය: 80 − 40 = 40 cm².
3(iii) PQ යනු PDC හි මධ්‍යස්ථයකි, එබැවින් PQC = ½ × 40 = 20 cm².
4(iv) 80 = 10 × h, එබැවින් h = 8 cm.

✅ (i) 40 cm² (ii) 40 cm² (iii) 20 cm² (iv) 8 cm

📌 මතක තබා ගන්න

• එකම පාදය මත, එකම සමාන්තර රේඛා අතර ඇති සමාන්තරාස්‍රවල වර්ගඵල සමානයි.• එකම පාදය මත, එකම සමාන්තර රේඛා අතර ඇති ත්‍රිකෝණය සමාන්තරාස්‍රයෙන් අඩකි.• එකම පාදය මත, එකම සමාන්තර රේඛා අතර ඇති ත්‍රිකෝණවල වර්ගඵල සමානයි; එකම පැත්තේ වර්ගඵල සමාන නම් ශීර්ෂ යා කරන රේඛාව සමාන්තරයි.• උස සමාන නම් වර්ගඵල අනුපාතය = පාද අනුපාතය; මධ්‍යස්ථය ත්‍රිකෝණය අඩකට බෙදයි.• හේතුව ලෙස පාදය හා සමාන්තර රේඛා සැමවිටම සඳහන් කරන්න.

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

එකම පාදය මත, එකම සමාන්තර රේඛා අතර ඇති සමාන්තරාස්‍ර…	…වර්ගඵලයෙන් සමානයි.
එකම පාදය මත, එකම සමාන්තර රේඛා අතර ත්‍රිකෝණය හා සමාන්තරාස්‍රය	ත්‍රිකෝණය = ½ × සමාන්තරාස්‍රය
එකම පාදය මත, එකම සමාන්තර රේඛා අතර ඇති ත්‍රිකෝණ…	…වර්ගඵලයෙන් සමානයි.
විලෝමය: එකම පාදය මත, එකම පැත්තේ සමාන වර්ගඵල ත්‍රිකෝණ	ඒවායේ ශීර්ෂ යා කරන රේඛාව පාදයට සමාන්තරයි.
සමාන්තරාස්‍රයක වර්ගඵලය	පාදය × ලම්බ උස
මධ්‍යස්ථයක් ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලයට කරන්නේ?	එය සමාන කොටස් දෙකකට බෙදයි.
BC මත BD : DC = 2 : 3. ABD : ADC = ?	2 : 3 (A සිට උස පොදුයි)