වෘත්තයක කෝණ: කෙටි සටහන්

Grade 10 · Term 3 · Angles in a Circle

46%

10 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (54න් 25)

334

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 72)

11 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

කේන්ද්‍රයේ කෝණය පරිධියේ කෝණය මෙන් දෙගුණයක් බව සාධනය කිරීම
ලක්ෂ්‍යය සුළු චාපය මත ඇති විට කේන්ද්‍රයේ පරාවර්ත කෝණය යොදා ගැනීම
එකම වෘත්ත ඛණ්ඩයේ කෝණ සමාන බව යොදා ගැනීම
අර්ධ වෘත්තයේ කෝණය සෘජු කෝණයක් බව යොදා ගැනීම
සමද්විපාද ත්‍රිකෝණ හා කෝණ එකතුව සමඟ මේවා යොදා ගැටලු විසඳීම

ආලෝක කුළුණු දෙකක්

ගාල්ලේ පාසලක රවුම් ක්‍රීඩාංගණයක දාරයේ ආලෝක කුළුණු දෙකක් ඇත. ඔබ ආපනශාලාව අසල හෝ ලකුණු පුවරුව අසල හෝ වාඩි වුවත්, එකම වක්‍ර දාරයේ සිටින තාක් කුළුණු දෙක අතර කෝණය හරියටම සමානව පෙනේ. එය වාසනාවක් නොවේ. එය වෘත්ත ප්‍රමේයයකි; අද ඔබ එවැනි ප්‍රමේය තුනක් ඉගෙන ගනී.

දැන සිටිය යුතු වචන

ජ්‍යායක් වන AB මගින් වෘත්තය චාප දෙකකට බෙදේ: සුළු චාපය හා මහා චාපය.කේන්ද්‍රය O හි AOB කෝණය AB චාපය මත පිහිටයි: එනම් AB චාපයෙන් කේන්ද්‍රයේ ∠AOB ආපාතනය වේ.වෘත්තය මත P ලක්ෂ්‍යයක් සහිත APB කෝණය වෘත්තයේ ඉතිරි කොටසේ (පරිධියේ) ආපාතනය වන කෝණයකි.

කේන්ද්‍ර කෝණය = 2 × පරිධි කෝණය

කෝණ දෙකම එකම AB චාපය මත පිහිටයි. කේන්ද්‍රයේ කෝණය P හි කෝණය මෙන් දෙගුණයකි.

🧮 ප්‍රමේයය 1

චාපයකින් කේන්ද්‍රයේ ආපාතනය වන කෝණය, එම චාපයෙන් වෘත්තයේ ඉතිරි කොටසේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක ආපාතනය වන කෝණය මෙන් දෙගුණයකි. අනෙක් පැත්තට: පරිධියේ කෝණය = ½ × කේන්ද්‍රයේ කෝණය.

∠AOB = 2 × ∠APB

එය සිදු වන්නේ ඇයි

PO යා කර D දක්වා දික් කරන්න.• OA = OP (අරයන්) නිසා △OAP සමද්විපාද ය: ∠OAP = ∠OPA = a.• බාහිර කෝණය ∠AOD = a + a = 2a.• එලෙසම ∠OPB = b නම් ∠BOD = 2b.• එකතු කළ විට ∠AOB = 2a + 2b = 2(a + b) = 2 × ∠APB.අරයන් සමද්විපාද ත්‍රිකෝණ සාදයි: විභාග ගැටලු බොහොමයක් විසඳන්නේ ද මේ අදහසෙනි.

✏️ අඩක් ගන්න

කේන්ද්‍රය O වූ වෘත්තයක් මත A, B හා P පිහිටා ඇත; P මහා චාපය මත ඇත. ∠AOB = 130° නම් ∠APB සොයන්න.

1∠AOB හා ∠APB යන දෙකම AB චාපය මත පිහිටයි.
2පරිධියේ කෝණය = ½ × කේන්ද්‍රයේ කෝණය.
3එබැවින් ∠APB = 130° ÷ 2 = 65°.

✅ 65°

✏️ ලක්ෂ්‍යය සුළු චාපය මත ඇති විට

රූපයේ පරිදි ∠AOB = 140° වන අතර Q සුළු චාපය AB මත ඇත. ∠AQB සොයන්න.

1∠AQB පිහිටන්නේ සුළු චාපය මත නොව මහා චාපය AB මතයි.
2මහා චාපයෙන් O හි ආපාතනය වන්නේ පරාවර්ත කෝණයයි: 360° − 140° = 220°.
3එබැවින් ∠AQB = 220° ÷ 2 = 110°.

✅ 110°

⚠️ වැරදි පැත්තට දෙගුණ කිරීම, හෝ වැරදි චාපය

සා.පෙළ ප්‍රශ්න පත්‍රවල මෙම ප්‍රමේයය වසරින් වසර වැරදියට යෙදී ඇත. උගුල් දෙකක්:1. දෙගුණ කළ යුතු තැන අඩ කිරීම. කේන්ද්‍රයේ කෝණය සෑම විටම විශාල කෝණයයි.2. වෙනත් චාපයක් මත පිහිටි කෝණයක් යෙදීම. මුලින් එක් එක් කෝණය 'බලන' චාපය සොයන්න. ලක්ෂ්‍යය සුළු චාපය මත නම් O හි පරාවර්ත කෝණය ගන්න.

ප්‍රමේයය 2: එකම වෘත්ත ඛණ්ඩයේ කෝණ

P හා Q, AB ජ්‍යායේ එකම පැත්තේ (එකම වෘත්ත ඛණ්ඩයේ) ඇත. කෝණ දෙකම එකම කේන්ද්‍ර කෝණයේ අඩ නිසා ∠APB = ∠AQB. එකම වෘත්ත ඛණ්ඩයේ කෝණ සමාන වේ.

⚠️ එකම ඛණ්ඩය යනු එකම පැත්තයි

සිසුන් බොහෝ විට එකම වෘත්ත ඛණ්ඩයේ සමාන කෝණ නොදකිති, නැතහොත් එකම ඛණ්ඩයේ නැති කෝණ සමාන කරති.පරීක්ෂාව: කෝණ දෙකේම බාහු එකම ලක්ෂ්‍ය දෙකෙන් (එකම ජ්‍යායෙන්) අවසන් විය යුතු අතර ශීර්ෂ එම ජ්‍යායේ එකම පැත්තේ තිබිය යුතුය. ප්‍රතිවිරුද්ධ පැතිවල නම් සාමාන්‍යයෙන් කෝණ සමාන නොවේ.

ප්‍රමේයය 3: අර්ධ වෘත්තයේ කෝණය

AB විෂ්කම්භයක් නිසා ∠AOB = 180°. 180° හි අඩ 90° නිසා ∠ACB = 90°. අර්ධ වෘත්තයේ කෝණය සෘජු කෝණයකි. විෂ්කම්භයක් දුටුවොත් සෘජු කෝණයක් සොයා, පයිතගරස් ප්‍රමේයය හෝ කෝණ එකතුව යොදන්න.

📌 මතක තබා ගන්න

• එකම චාපය මත කේන්ද්‍රයේ කෝණය = 2 × පරිධියේ කෝණය.• ලක්ෂ්‍යය සුළු චාපය මත නම් කේන්ද්‍රයේ පරාවර්ත කෝණය ගන්න.• එකම වෘත්ත ඛණ්ඩයේ කෝණ සමාන වේ.• අර්ධ වෘත්තයේ කෝණය 90° කි.• අරයන් සමාන නිසා අරයන් දෙකක් ඇති ත්‍රිකෝණ සමද්විපාද වේ. සෑම කෝණයකටම හේතුව ලියන්න.

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

කේන්ද්‍රයේ කෝණය හා පරිධියේ කෝණය (එකම චාපය)	කේන්ද්‍රයේ කෝණය පරිධියේ කෝණය මෙන් දෙගුණයකි.
එකම වෘත්ත ඛණ්ඩයේ කෝණ	සමාන වේ.
අර්ධ වෘත්තයේ කෝණය	90°, එනම් සෘජු කෝණයකි.
ලක්ෂ්‍යය සුළු චාපය මත නම් අඩ කරන්නේ කුමන කේන්ද්‍ර කෝණයද?	කේන්ද්‍රයේ පරාවර්ත කෝණය (360° න් දී ඇති කෝණය අඩු කළ විට).
පාද දෙකක් අරයන් වූ ත්‍රිකෝණයක්…	සමද්විපාද වේ; එබැවින් පාද කෝණ සමාන වේ.
'AB චාපයෙන් ∠APB ආපාතනය වේ' යනු කුමක්ද?	AB චාපයේ අග්‍ර දෙකේ සිට P ට ඇඳි රේඛා මගින් ∠APB සෑදේ; එනම් එය එම චාපය මත පිහිටයි.

දැන් ඔබම පරීක්ෂා කරන්න: කෙටි ප්‍රශ්න 4ක්, තවත් විසඳූ උදාහරණ 1ක්

සම්පූර්ණ පාඩම ඔබේ පිළිතුරු පරීක්ෂා කරන අතර ගෙදර සර් ඔබ ඉගෙන ගත් කොටස් සටහන් කරයි.

📖 විනාඩි 11 පාඩම නොමිලේ ▶ පසුගිය ප්‍රශ්න 5ක් පුහුණු වන්න