ගුණෝත්තර ශ්‍රේඪි: කෙටි සටහන්

Grade 11 · Term 2 · Geometric Progression

64%

11 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (61න් 39)

227

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 45)

12 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

ගුණෝත්තර ශ්‍රේඪියක් හඳුනාගෙන එහි පොදු අනුපාතය සෙවීම
Tₙ = arⁿ⁻¹ භාවිතයෙන් ඕනෑම පදයක් සෙවීම
පද කිහිපයක් දී ඇති විට a, r හෝ n සෙවීම
Sₙ සූත්‍රය භාවිතයෙන් පළමු පද n හි එකතුව සෙවීම
නියත අනුපාතයකින් වැඩෙන හෝ අඩු වන එදිනෙදා ගැටලු විසඳීම

කොත්තු කඩේ ජනප්‍රිය වෙයි

ගාල්ලේ අලුත් කොත්තු කඩයක පිටුවට පළමු සතියේ නව අනුගාමිකයන් 50 ක්, දෙවන සතියේ 100 ක්, තෙවන සතියේ 200 ක් ලැබේ: සෑම සතියකම දෙගුණයක්. මෙය දිගටම සිදු වුවහොත් 10 වන සතියේ නව අනුගාමිකයන් කී දෙනෙක්ද? 500 නොවේ; 25 600 කි. සෑම පියවරකම ගුණ වන සංඛ්‍යා විශ්මයජනක වේගයකින් වැඩේ.

ගුණෝත්තර ශ්‍රේඪියක් යනු කුමක්ද?

සෑම පදයක්ම ඊට පෙර පදය එකම සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමෙන් ලැබේ; එම සංඛ්‍යාව පොදු අනුපාතය r යි.r = ඕනෑම පදයක් ÷ ඊට පෙර පදය.• 3, 6, 12, 24, … r = 2• 80, 40, 20, 10, … r = ½• 2, −6, 18, −54, … r = −3සසඳන්න: සමාන්තර ශ්‍රේඪියක සෑම වරම එකම සංඛ්‍යාවක් එකතු වේ.

ගුණ කරමු, ගුණ කරමු

r = 2 නිසා සෑම තීරුවක්ම පෙර තීරුව මෙන් දෙගුණයකි. පද පහකින් 1 සිට 16 දක්වා යයි; පද දහයකින් 512 දක්වා යයි.

🧮 n වන පදය

a පළමු පදය ද r පොදු අනුපාතය ද වේ. පළමු පදයේ r නැති නිසා n වන පදයට ළඟා වීමට r න් ගුණ කරන්නේ (n − 1) වරක් පමණි.

Tₙ = arⁿ⁻¹

✏️ දුර ඇති පදයක් සෙවීම

(i) 3, 6, 12, … හි 8 වන පදය සොයන්න. (ii) ආරම්භක කතාවේ 10 වන සතියේ නව අනුගාමිකයන් ගණන සොයන්න.

1(i) a = 3, r = 6 ÷ 3 = 2, n = 8.
2T₈ = 3 × 2⁷ = 3 × 128 = 384.
3(ii) a = 50, r = 2, n = 10.
4T₁₀ = 50 × 2⁹ = 50 × 512 = 25 600.

✅ (i) 384 (ii) 25 600

⚠️ බලය n − 1 මිස n නොවේ

නිතර සිදු වන වැරැද්දක් වන්නේ T₈ = 3 × 2⁸ = 768 ලෙස ලිවීමයි. කුඩා අවස්ථාවකින් පරීක්ෂා කරන්න: T₂ = ar¹ නිසා T₈ = ar⁷. r සෙවීමේදී වැරදි පැත්තට බෙදීම ද පරීක්ෂකයන් දකියි: සැමවිටම පසු පදය ÷ පෙර පදය ගන්න; 16 ÷ 64 = 1/4 මිස 64 ÷ 16 නොවේ.

✏️ එය කීවන පදයද?

5, 10, 20, … ගුණෝත්තර ශ්‍රේඪියේ 640 වන්නේ කීවන පදයද?

1a = 5, r = 2. Tₙ = 640 ලෙස ගන්න: 5 × 2ⁿ⁻¹ = 640.
25 න් බෙදන්න: 2ⁿ⁻¹ = 128.
3128 = 2⁷, එබැවින් n − 1 = 7.
4n = 8: 640 යනු 8 වන පදයයි.

✅ 8th term

අනුයාත පද තුනක්

x, y, z ගුණෝත්තර ශ්‍රේඪියක අනුයාත පද නම් දෙවරම අනුපාතය සමානය:y ÷ x = z ÷ y, එබැවින් y² = xz.උදා: x, 12, 36 අනුයාත පද නම් 12² = 36x; 144 = 36x, එබැවින් x = 4.පරීක්ෂාව: 4, 12, 36 හි r = 3 ✓

🧮 පළමු පද n හි එකතුව

ආකාර දෙකම එකම පිළිතුර දෙයි (r ≠ 1). ඍණ සංඛ්‍යා මඟහරවා ගැනීමට r > 1 නම් පළමු ආකාරය ද r < 1 නම් දෙවන ආකාරය ද යොදන්න.

Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) or Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r)

⚠️ Tₙ, Sₙ හා සමාන්තර ශ්‍රේඪි සූත්‍ර පටලවා ගැනීම

සා.පෙළ වසර කිහිපයකදීම ගුණෝත්තර ශ්‍රේඪි එකතු සූත්‍රය යෙදීමට නොහැකි වූ, හෝ සමාන්තර ශ්‍රේඪියේ n/2[2a + (n − 1)d] භාවිත කළ අපේක්ෂකයන් පරීක්ෂකයන් දුටුවේය. මුලින් ප්‍රශ්න දෙකක් අසන්න: එකතු කරනවාද, ගුණ කරනවාද? (සමාන්තර ද ගුණෝත්තර ද) සහ එක් පදයක්ද, එකතුවක්ද? (Tₙ ද Sₙ ද). ඉන්පසු ආදේශයට පෙර සූත්‍රය ලියන්න.

📌 මතක තබා ගන්න

• ගුණෝත්තර ශ්‍රේඪිය: සෑම වරම එකම r න් ගුණ කරයි; r = පසු පදය ÷ පෙර පදය.• Tₙ = arⁿ⁻¹ (බලය n − 1).• පද දෙකක් දී ඇති විට: a ඉවත් වන පරිදි බෙදා r සොයන්න.• r > 1 නම් Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1); r < 1 නම් a(1 − rⁿ)/(1 − r).• අනුයාත පද x, y, z නම් y² = xz.

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

පොදු අනුපාතය r	ඕනෑම පදයක් ÷ ඊට පෙර පදය
ගුණෝත්තර ශ්‍රේඪියක n වන පදය	Tₙ = arⁿ⁻¹ ලෙස ලියයි
පළමු පද n හි එකතුව (r > 1)	Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) ලෙස ලියයි
පළමු පද n හි එකතුව (r < 1)	Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) ලෙස ලියයි
x, y, z අනුයාත ගුණෝත්තර පද නම්	y² = xz වේ
සමාන්තර ද ගුණෝත්තර ද? 7, 14, 28, 56	r = 2 වූ ගුණෝත්තර ශ්‍රේඪියකි (ගුණ වේ)
T₂ = 6, T₅ = 162. r සොයන්නේ කෙසේද?	r³ = 162 ÷ 6 = 27, එබැවින් r = 3