සමාන්තරාස්‍ර I: කෙටි සටහන්

Grade 10 · Parallelograms I

78%

10 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (54න් 42)

332

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 78)

10 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

සමාන්තරාස්‍රයක සම්මුඛ පාද හා සම්මුඛ කෝණ සමාන බව සාධනය කිරීම
විකර්ණයක් සමාන්තරාස්‍රය අංගසම ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදන බව යොදා ගැනීම
සමාන්තරාස්‍රයක විකර්ණ එකිනෙක සමච්ඡේදනය කරන බව යොදා ගැනීම
සෘජුකෝණාස්‍රය, රොම්බසය හා සමචතුරස්‍රයේ විකර්ණවල අමතර ගුණ හඳුනා ගැනීම
නොදන්නා පාද හා කෝණ සොයා, හේතු සහිතව කෙටි අනුමේය සාධනය කිරීම

ත්‍රීවීල් ජැක් එක

කුරුණෑගලදී ත්‍රීරෝද රථ රියැදුරෙකුගේ ටයරයක් පංචර් වෙයි. ඔහු කතුරු ජැක් එකක් රාමුව යටට තබා හැඬලය කරකවයි. ජැක් එකේ වානේ බාහු හතර සෑම විටම සමාන්තරාස්‍රයක්, ඇත්තටම රොම්බසයක් සාදයි. එක් විකර්ණයක් දිග් වන විට අනෙක කෙටි වී වාහනය ඉහළට එසවෙයි. මේ හැඩය මෙතරම් විශ්වාසදායක ලෙස හැසිරෙන්නේ ඇයි? මේ පාඩමෙන් ඉගෙන ගන්නේ එයයි.

සමාන්තරාස්‍රයක් යනු කුමක්ද?

සම්මුඛ පාද යුගල දෙකම සමාන්තර වූ චතුරස්‍රයක් සමාන්තරාස්‍රයක් ලෙස හැඳින්වේ.ABCD හි: AB ∥ DC හා AD ∥ BC.සමාන්තර රේඛා නිසා ඕනෑම යාබද කෝණ දෙකක් මිත්‍ර කෝණ වේ; එබැවින් ඒවායේ එකතුව 180° කි:∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C = 180°, ආදී ලෙස.

සමාන්තරාස්‍රයකින් ලැබෙන දේ

ඊතල මගින් සමාන්තර පාද පෙන්වයි. AC හා BD විකර්ණ O හිදී හමු වේ: ලකුණු මගින් AO = OC හා BO = OD බව පෙන්වයි.

🧮 ප්‍රමේයය: පාද හා කෝණ

ඕනෑම ABCD සමාන්තරාස්‍රයක සම්මුඛ පාද සමාන වන අතර සම්මුඛ කෝණ සමාන වේ. තවද එක් එක් විකර්ණය එය අංගසම ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදයි; එබැවින් එක් ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලය සමාන්තරාස්‍රයේ වර්ගඵලයෙන් අඩකි.

AB = DC, AD = BC; ∠A = ∠C, ∠B = ∠D

එය සත්‍ය වන්නේ ඇයි: විධිමත් සාධනය

AC විකර්ණය යා කරන්න. △ABC හා △CDA හි:• ∠BAC = ∠DCA (ඒකාන්තර කෝණ, AB ∥ DC)• ∠BCA = ∠DAC (ඒකාන්තර කෝණ, AD ∥ BC)• AC පොදු පාදයයි.එබැවින් කෝ.කෝ.පා. අනුව △ABC ≡ △CDA.අනුරූප අංග සමාන නිසා AB = CD, BC = DA හා ∠B = ∠D. BD යා කළ විට ∠A = ∠C ද ලැබේ.

✏️ කෝණ සොයමු

PQRS සමාන්තරාස්‍රයේ ∠P = (3x + 10)° හා ∠R = (5x − 30)° වේ. x ද, ඉන්පසු කෝණ හතරම ද සොයන්න.

1∠P හා ∠R සම්මුඛ කෝණ නිසා සමාන වේ.
23x + 10 = 5x − 30, එබැවින් 40 = 2x, x = 20.
3∠P = ∠R = 3 × 20 + 10 = 70°.
4යාබද කෝණවල එකතුව 180° නිසා ∠Q = ∠S = 180° − 70° = 110°.

✅ x = 20; ∠P = ∠R = 70°, ∠Q = ∠S = 110°

⚠️ බාහිර කෝණය ≠ අභ්‍යන්තර කෝණය

පාදයක් දික් කළ විට සමාන්තරාස්‍රයෙන් පිටත ලකුණු කළ කෝණය බාහිර කෝණයකි. සිසුන් බොහෝ විට එය කෙලින්ම සම්මුඛ කෙළවරට පිටපත් කරති.මුලින් සරල රේඛාව මත අභ්‍යන්තර කෝණය සොයන්න: 180° − (බාහිර කෝණය). ඉන්පසු පමණක් 'සම්මුඛ කෝණ සමාන' යොදන්න. බාහිර කෝණය 65° නම් සම්මුඛ අභ්‍යන්තර කෝණය 115° මිස 65° නොවේ.

🧮 ප්‍රමේයය: විකර්ණ

සමාන්තරාස්‍රයක විකර්ණ එකිනෙක සමච්ඡේදනය කරයි: ඒවා O හිදී එකිනෙක හරියටම දෙකට බෙදයි.සාධනයේ අදහස: ∠OAB = ∠OCD හා ∠OBA = ∠ODC (ඒකාන්තර කෝණ) හා AB = CD (සම්මුඛ පාද) යොදා කෝ.කෝ.පා. අනුව △AOB ≡ △COD.

AO = OC, BO = OD

✏️ විකර්ණවල අඩ

ABCD සමාන්තරාස්‍රයේ විකර්ණ O හිදී හමු වේ. AC = 18 cm, BD = 12 cm හා AB = 10 cm වේ. AOB ත්‍රිකෝණයේ පරිමිතිය සොයන්න.

1විකර්ණ එකිනෙක සමච්ඡේදනය කරන නිසා AO = 18 ÷ 2 = 9 cm.
2BO = 12 ÷ 2 = 6 cm.
3පරිමිතිය = AO + BO + AB = 9 + 6 + 10 = 25 cm.

✅ 25 cm

⚠️ විකර්ණ සෑම දෙයක්ම නොකරයි

සා.පෙළ ප්‍රශ්න පත්‍රවල බොහෝ අපේක්ෂකයන් සමාන්තරාස්‍රයක විකර්ණය එහි කෝණ සමච්ඡේදනය කරන බව සිතූහ. රොම්බසයක් නම් මිස එසේ නොවේ.සාමාන්‍ය සමාන්තරාස්‍රයක විකර්ණ සමාන නොවේ, ලම්බ ද නොවේ. ඒවා කරන්නේ එකිනෙක සමච්ඡේදනය කිරීම පමණි. පිළිවෙළට ඇඳි රූපයක් දෙස බලා අමතර කරුණු උපකල්පනය නොකරන්න.

විශේෂ සමාන්තරාස්‍ර

1: සෘජුකෝණාස්‍රය සෘජු කෝණ සහිත සමාන්තරාස්‍රයකි; එහි විකර්ණ සමාන වේ.2: රොම්බසයේ සියලු පාද සමාන ය; එහි විකර්ණ 90° කින් හමු වී කෝණ සමච්ඡේදනය කරයි.සමචතුරස්‍රයට මේ සියලු ගුණ ඇත.

⚠️ සෑම පියවරකටම හේතුවක් ඕනෑ

2018 සා.පෙළ සාධන ප්‍රශ්නයක හොඳ ලකුණු ලැබුවේ 7% ක් පමණි. බොහෝ දෙනා නිවැරදි ලෙස පෙනෙන පේළි හේතු නොමැතිව ලියූ බවත්, යොදාගත් අංගසම අවස්ථාව නොදැන සිටි බවත් පරීක්ෂකයෝ පැවසූහ.සෑම කරුණක්ම කරුණ (හේතුව) ලෙස ලියන්න. ඉන්පසු අවස්ථාව නම් කරන්න: පා.පා.පා., පා.කෝ.පා., කෝ.කෝ.පා. හෝ කර්ණ පා. පෙර කොටස්වල සාධනය කළ ප්‍රතිඵල ද යොදා ගන්න.

📌 මතක තබා ගන්න

• සමාන්තරාස්‍රය: සම්මුඛ පාද යුගල දෙකම සමාන්තර ය.• සම්මුඛ පාද සමාන; සම්මුඛ කෝණ සමාන; යාබද කෝණවල එකතුව 180°.• එක් එක් විකර්ණය එය සමාන වර්ගඵල ඇති අංගසම ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදයි.• විකර්ණ එකිනෙක සමච්ඡේදනය කරයි (සාමාන්‍යයෙන් සමාන හෝ ලම්බ නොවේ).• සෘජුකෝණාස්‍රය: විකර්ණ සමාන. රොම්බසය: විකර්ණ ලම්බ වී කෝණ සමච්ඡේදනය කරයි.

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

සමාන්තරාස්‍රයක් යනු කුමක්ද?	සම්මුඛ පාද යුගල දෙකම සමාන්තර වූ චතුරස්‍රයකි.
සමාන්තරාස්‍රයක පාද හා කෝණ	සම්මුඛ පාද සමාන වන අතර සම්මුඛ කෝණ ද සමාන වේ.
සමාන්තරාස්‍රයක යාබද කෝණ දෙකක එකතුව…	180° (ඒවා මිත්‍ර කෝණ වේ).
එක් විකර්ණයක් සමාන්තරාස්‍රයට කරන්නේ කුමක්ද?	එය අංගසම ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදයි; එක් එකක වර්ගඵලය අඩකි.
සමාන්තරාස්‍රයක විකර්ණ දෙක…	එකිනෙක සමච්ඡේදනය කරයි.
සෘජුකෝණාස්‍රයක විකර්ණ	දිගින් සමාන වන අතර එකිනෙක සමච්ඡේදනය කරයි.
රොම්බසයක විකර්ණ	එකිනෙක සෘජුකෝණිකව සමච්ඡේදනය කරන අතර රොම්බසයේ කෝණ ද සමච්ඡේදනය කරයි.