පයිතගරස් ප්‍රමේයය: කෙටි සටහන්

Grade 11 · Pythagoras' Theorem

13%

11 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (61න් 8)

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 10)

11 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

පයිතගරස් ප්‍රමේයය වර්ගඵල ඇසුරින් හා පාද දිග ඇසුරින් ප්‍රකාශ කිරීම
සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක නොදන්නා පාදයක් සෙවීම
ත්‍රිකෝණයක් සෘජුකෝණී දැයි විලෝමය මගින් තීරණය කිරීම
ජ්‍යා, ඉණිමං, සෘජුකෝණාස්‍ර හා වීජීය ගැටලුවලට ප්‍රමේයය යෙදීම
කෙටි සාධනවල හේතුවක් ලෙස ප්‍රමේයය භාවිත කිරීම

මේසන් බාස්ගේ නූල් උපක්‍රමය

මාතලේ මේසන් බාස් කෙනෙක් අලුත් නිවසක අත්තිවාරම ලකුණු කරයි. නිවැරදි සෘජුකෝණී මුල්ලක් ලබා ගැනීමට ඔහු එක් පැත්තක 3 m ද අනෙක් පැත්තේ 4 m ද නූලෙන් මැන, කෙළවරවල් අතර දුර හරියටම 5 m වන තුරු සකසයි. 3-4-5 සැමවිටම සෘජුකෝණයක් දෙන්නේ ඇයි? පයිතගරස් එය පැහැදිලි කරයි.

ප්‍රමේයය

සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක සෘජුකෝණයට සම්මුඛ පාදය කර්ණය වේ: එය දිගම පාදයයි.පයිතගරස් ප්‍රමේයය: කර්ණය මත අඳින සමචතුරස්‍රයේ වර්ගඵලය, අනෙක් පාද දෙක මත අඳින සමචතුරස්‍රවල වර්ගඵලවල එකතුවට සමානයි.පාද a, b හා කර්ණය c නම්: a² + b² = c².

සමචතුරස්‍රවලින් බලමු

පාද 3, 4 හා 5: සමචතුරස්‍රවල වර්ගඵල 9, 16 හා 25 වන අතර 9 + 16 = 25.

🧮 ආකාර දෙක

කර්ණය සොයනවා නම් වර්ග එකතු කරන්න. කෙටි පාදයක් සොයනවා නම් කර්ණයේ වර්ගයෙන් අඩු කරන්න. ඉන්පසු වර්ගමූලය ගන්න.

c² = a² + b² | a² = c² − b²

✏️ කර්ණය සෙවීම

සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක කෙටි පාද 9 cm හා 12 cm වේ. කර්ණය සොයන්න.

1c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
2c = √225 = 15

✅ 15 cm

⚠️ මුලින් කර්ණය හඳුනාගන්න

කර්ණය දී ඇති විටත් වර්ග එකතු කිරීම පරීක්ෂකයන් නිතර දකී; උදා: √(13² − 5²) වෙනුවට √(13² + 5²). ගණනය කිරීමට පෙර සෘජුකෝණයට සම්මුඛ පාදය ලකුණු කරන්න. ඔබ දන්නේ එම පාදය නම් අඩු කරන්න. පිළිතුර කර්ණයට වඩා කෙටි විය යුතුයි.

විලෝමය: සෘජුකෝණයක් ඇති දැයි පරීක්ෂාව

ත්‍රිකෝණයක පාද a² + b² = c² තෘප්ත කරයි නම් (c දිගම පාදය), c ට සම්මුඛ කෝණය සෘජුකෝණයකි.මේසන් බාස්ගේ උපක්‍රමය එයයි: 3² + 4² = 5².මෙසේ ගැළපෙන පූර්ණ සංඛ්‍යා කට්ටල: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25 හා ඒවායේ ගුණාකාර, උදා: 6, 8, 10.

✏️ වෘත්තයක ජ්‍යායක්

O කේන්ද්‍රය හා අරය 13 cm වන වෘත්තයක AB ජ්‍යාය O සිට 5 cm දුරින් ඇත (OM ⟂ AB). AB හි දිග සොයන්න.

1△OMB හි M හි සෘජුකෝණයකි; OB = 13 අරයක් නිසා එය කර්ණයයි.
2MB² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, එබැවින් MB = 12.
3කේන්ද්‍රයේ සිට ලම්බය ජ්‍යාය සමච්ඡේදනය කරයි: AB = 2 × 12 = 24.

✅ AB = 24 cm

⚠️ භාගයෙන් නැවතීම

ජ්‍යා හා සමද්විපාද ත්‍රිකෝණ ගැටලුවලදී පයිතගරස් මගින් ලැබෙන්නේ දිගෙන් භාගයක් පමණි. බොහෝ අපේක්ෂකයන් ජ්‍යාය ලෙස 12 cm ලියති. අසා ඇත්තේ කුමක්දැයි නැවත බලන්න: AB = AM + MB = 2 × MB. සම්පූර්ණ රූපය ඇඳ එක් එක් සංඛ්‍යාව කුමක්දැයි ලකුණු කරන්න.

📌 මතක තබා ගන්න

• කර්ණය සෘජුකෝණයට සම්මුඛ වන අතර දිගම පාදයයි.• a² + b² = c²: c සෙවීමට එකතු කරන්න, කෙටි පාදයක් සෙවීමට අඩු කරන්න.• විලෝමය: a² + b² = c² නම් c ට සම්මුඛ කෝණය 90° වේ.• සැඟවුණු සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණ සොයන්න: ජ්‍යායකට අරය, ලම්බයක්, ඉණිමඟක්, විකර්ණයක්.• සාධනවලදී හේතුව ලෙස 'පයිතගරස් ප්‍රමේයය' ලියන්න.

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

පයිතගරස් ප්‍රමේයය	සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක a² + b² = c²; c කර්ණයයි.
කර්ණය කුමන පාදයද?	සෘජුකෝණයට සම්මුඛ පාදය (දිගම පාදය).
වර්ගඵල ආකාරයෙන් ප්‍රමේයය	කර්ණය මත සමචතුරස්‍රය = අනෙක් පාද දෙක මත සමචතුරස්‍රවල එකතුව.
පයිතගරස් ප්‍රමේයයේ විලෝමය	a² + b² = c² නම් c ට සම්මුඛ කෝණය සෘජුකෝණයකි.
පොදු පූර්ණ සංඛ්‍යා කට්ටල	3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25 (හා ගුණාකාර)
කර්ණය c හා පාදය b ගෙන කෙටි පාදය	a = √(c² − b²)
6 cm × 8 cm සෘජුකෝණාස්‍රයක විකර්ණය	10 cm (√(36 + 64))
අරය r, දුර d නම් අර්ධ ජ්‍යාය	√(r² − d²); ජ්‍යාය එමෙන් දෙගුණයකි.