ස්පර්ශක: කෙටි සටහන්

Grade 11 · Term 3 · Tangents

38%

11 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (61න් 23)

312

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 36)

11 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේදී ස්පර්ශකය අරයට ලම්බ බව හා එහි විලෝමය යෙදීම
බාහිර ලක්ෂ්‍යයක සිට ඇඳි ස්පර්ශක දෙක සමාන බවත් කේන්ද්‍රයේ සමාන කෝණ ආපාතනය කරන බවත් යෙදීම
ඒකාන්තර වෘත්ත ඛණ්ඩ ප්‍රමේයය යෙදීම
කෝණ හා දිග සෙවීමට ස්පර්ශක කරුණු, පයිතගරස් සම්බන්ධය හා අනෙක් වෘත්ත ප්‍රමේය එක්ව යෙදීම

ළිඳේ කඹය

ගමේ ළිඳක කඹය කප්පියක රෝදය උඩින් ගොස් බාල්දිය දක්වා කෙළින්ම පහළට වැටේ. එය රෝදය හැර යන්නේ එක් ලක්ෂ්‍යයක් පමණක් ස්පර්ශ කරමිනුයි; එතැනදී එය කූරට හරියටම සෘජු කෝණයකින් හමු වේ. එම සරල රේඛාව ස්පර්ශකයකි; ස්පර්ශක සරල නීති කිහිපයක් අනුගමනය කරයි.

ස්පර්ශකය යනු?

ස්පර්ශකය යනු වෘත්තයක් එක් ලක්ෂ්‍යයකදී පමණක් හමු වන සරල රේඛාවකි. එම ලක්ෂ්‍යය ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යය යි.වෘත්තය ලක්ෂ්‍ය දෙකකදී කපන රේඛාවක් ස්පර්ශකයක් නොවේ; වෘත්තය තුළ ඇති කොටස ජ්‍යායකි.වෘත්තයට පිටතින් ඇති ලක්ෂ්‍යයක සිට ස්පර්ශක හරියටම දෙකක් ඇඳිය හැක.

ස්පර්ශකය ⟂ අරය

ප්‍රමේයය: A හිදී ඇඳි ස්පර්ශකය OA අරයට ලම්බයි; එනම් OAT = 90°.විලෝමය: අරයක A කෙළවර හරහා OA ට ලම්බව ඇඳි රේඛාව ස්පර්ශකයකි.

✏️ සෘජු කෝණය හඳුනාගන්න

O කේන්ද්‍රය හා 5 cm අරය ඇති වෘත්තයකි. P ලක්ෂ්‍යය O සිට 13 cm දුරින් ඇති අතර PA ස්පර්ශකය වෘත්තය A හිදී ස්පර්ශ කරයි. PA ස්පර්ශකයේ දිග සොයන්න.

1OA අරයක් හා PA ස්පර්ශකයක් නිසා OAP = 90°.
2OAP ත්‍රිකෝණයට පයිතගරස්: PA² = OP² − OA².
3PA² = 169 − 25 = 144, එබැවින් PA = 12 cm.

✅ PA = 12 cm

එක් ලක්ෂ්‍යයක සිට ස්පර්ශක දෙකක්

PA හා PB යනු P සිට ඇඳි ස්පර්ශකයි. OAP හා OBP ත්‍රිකෝණ අංගසම වේ (කර්ණ පාද): A හා B හි සෘජු කෝණ, OA = OB (අරයන්), OP පොදුයි.

එයින් ලැබෙන කරුණු තුනක්

බාහිර ලක්ෂ්‍යය P සිට ඇඳි PA හා PB ස්පර්ශක දෙක සඳහා:• PA = PB: ස්පර්ශක සමානයි.• APO = BPO: ස්පර්ශක අතර කෝණය OP මගින් සමච්ඡේදනය වේ.• AOP = BOP: ස්පර්ශක කේන්ද්‍රයේ සමාන කෝණ ආපාතනය කරයි.තවද OAPB හි සෘජු කෝණ දෙකක් ඇති නිසා AOB + APB = 180°.

✏️ ස්පර්ශක දෙකක් වටා කෝණ

O කේන්ද්‍රය වූ වෘත්තයකට P සිට ඇඳි ස්පර්ශක PA හා PB වන අතර APB = 50°. (i) AOB (ii) OPA (iii) OAB සොයන්න.

1(i) OAP = OBP = 90°, එබැවින් AOB = 360 − 90 − 90 − 50 = 130°.
2(ii) OP මගින් APB සමච්ඡේදනය වන නිසා OPA = 25°.
3(iii) OA = OB නිසා OAB සමද්විපාද ත්‍රිකෝණයකි: OAB = (180 − 130) ÷ 2 = 25°.

✅ (i) 130° (ii) 25° (iii) 25°

⚠️ සමාන ස්පර්ශක අමතක කිරීම

අරය හා ස්පර්ශකය අතර සෘජු කෝණය අපේක්ෂකයන්ට මඟ හැරෙන බවත්, එක් ලක්ෂ්‍යයක සිට ඇඳි ස්පර්ශක සමාන බව අමතක වන බවත් සා.පෙළ පරීක්ෂකයෝ සඳහන් කරති. ස්පර්ශකයක් දුටු විගස ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේ 90° ලකුණු කරන්න; එක් ලක්ෂ්‍යයක සිට ස්පර්ශක දෙකක් ඇත්නම් ඒවා සමාන ලෙස ලකුණු කරන්න. පිළිතුරේ වැඩි කොටස එම ලකුණුවලින් ලැබේ.

ඒකාන්තර වෘත්ත ඛණ්ඩ ප්‍රමේයය

ST යනු A හිදී ස්පර්ශකය වන අතර AB ජ්‍යායකි. ඒවා අතර කෝණය, BAT, ඒකාන්තර වෘත්ත ඛණ්ඩයේ කෝණයට, ACB ට සමානයි. C, AB හි අනෙක් පැත්තේ ඇති චාපය මත ඕනෑම තැනක විය හැක.

'ඒකාන්තර' ඛණ්ඩය කුමක්ද?

AB ජ්‍යාය වෘත්තය ඛණ්ඩ දෙකකට බෙදයි. BAT කෝණය විවෘත වන්නේ ඉන් එකක් දෙසටය. ඒකාන්තර ඛණ්ඩය නම් ජ්‍යායේ අනෙක් පස ඇති අනෙක් ඛණ්ඩයයි.A හි අනෙක් පස BAS කෝණය කුඩා ඛණ්ඩයේ කෝණවලට සමානයි. BAT + BAS = 180° නිසා ඛණ්ඩ දෙකේ කෝණ එකතුව 180°; චක්‍රීය චතුරස්‍රයක මෙනි.

⚠️ වැරදි කෝණය තේරීම

ස්පර්ශක-ජ්‍යා කෝණය එම ඛණ්ඩයේම කෝණයකට සමාන කිරීම නිතර සිදුවන වැරැද්දකි. ස්පර්ශක-ජ්‍යා කෝණය ජ්‍යායේ එක් පැත්තක ඇති නිසා ජ්‍යායෙන් එහා බලන්න. අර්ධ වෘත්තයක කෝණය 90° බවත් චක්‍රීය චතුරස්‍රයක සම්මුඛ කෝණ එකතුව 180° බවත් අපේක්ෂකයන්ට අමතක වන බව පරීක්ෂකයෝ සඳහන් කරති.

📌 මතක තබා ගන්න

• ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේදී ස්පර්ශකය ⟂ අරය (හා විලෝමය).• එක් ලක්ෂ්‍යයක සිට ස්පර්ශක දෙක සමාන වන අතර ඒවා අතර කෝණය OP මගින් සමච්ඡේදනය වේ; AOB + APB = 180°.• ස්පර්ශක-ජ්‍යා කෝණය = ඒකාන්තර වෘත්ත ඛණ්ඩයේ කෝණය.• මුලින් සෑම ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයකම 90° හා සමාන ස්පර්ශක ලකුණු කරන්න; ඉන්පසු ත්‍රිකෝණ, අර්ධ වෘත්ත හා චක්‍රීය චතුරස්‍ර කරුණු යොදන්න.

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

ස්පර්ශකය	වෘත්තයක් එක් ලක්ෂ්‍යයකදී පමණක් හමු වන රේඛාව (ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යය).
ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේදී ස්පර්ශකය හා අරය අතර කෝණය	90° (ලම්බයි)
P සිට PA, PB ස්පර්ශක දෙක: දිග?	PA = PB (සමානයි)
OP මගින් APB ට කරන්නේ?	එය සමච්ඡේදනය කරයි: APO = BPO.
AOB හා APB කෝණවල එකතුව = ?	180°
ඒකාන්තර වෘත්ත ඛණ්ඩ ප්‍රමේයය	ස්පර්ශකය හා ජ්‍යාය අතර කෝණය = ඒකාන්තර වෘත්ත ඛණ්ඩයේ කෝණය.
අර්ධ වෘත්තයක කෝණය	90°