සංඛ්‍යා රටා: කෙටි සටහන්

Grade 9 · Number Patterns

93%

9 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (40න් 37)

309

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 68)

10 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

සංඛ්‍යා රටාවක පොදු අන්තරය සෙවීම
නියත ප්‍රමාණයකින් වැඩි වන හෝ අඩු වන රටාවක සාධාරණ පදය Tₙ ලිවීම
සාධාරණ පදයෙන් ඕනෑම පදයක් සෙවීම
දී ඇති අගයක් කීවන පදයදැයි සෙවීම, හෝ සංඛ්‍යාවක් පදයක් නොවන බව පෙන්වීම
රූප රටා හා විශේෂ රටා (ඔත්තේ, සමචතුරස්‍ර, ත්‍රිකෝණ සංඛ්‍යා) සඳහා සාධාරණ පද භාවිතය

ත්‍යාග ප්‍රදානෝත්සවයට පුටු

ඔබේ පාසල් ශාලාවේ ත්‍යාග ප්‍රදානෝත්සවයට පළමු පේළියේ පුටු 12 ක් ඇති අතර පිටුපස සෑම පේළියකම ඉදිරි පේළියට වඩා පුටු 3 ක් වැඩිපුර ඇත. පුටු 57 ක් ඇත්තේ කීවන පේළියේදැයි විදුහල්පතිතුමා අසයි. සියලු පේළි ඇඳිය හැකියි… නැතහොත් ඕනෑම පේළියක් එසැණින් දෙන එක් නීතියක් සොයාගත හැකියි.

පද හා පොදු අන්තරය

5, 8, 11, 14, … රටාවේ සෑම සංඛ්‍යාවක්ම පදයකි.T₁ = 5 පළමු පදය ද T₂ = 8 දෙවන පදය ද Tₙ n වන පදය ද වේ.පද සෑම වරම 3 කින් වැඩි වේ: පොදු අන්තරය 3 යි.අන්තරය = ඕනෑම පදයක් − ඊට පෙර පදය. පද අඩු වේ නම් අන්තරය ඍණ වේ.

Tₙ = 3n + 2 ලැබෙන්නේ කෙසේද?

අන්තරය 3 නිසා 3 ගුණ වගුව සමඟ සසඳන්න: 3, 6, 9, 12. සෑම පදයක්ම 2 කින් වැඩිය. එබැවින් Tₙ = 3n + 2.

🧮 සාධාරණ පදය

d පොදු අන්තරය ද T₁ පළමු පදය ද වේ. n ට ඉදිරියෙන් ඇති සංඛ්‍යාව සැමවිටම අන්තරයයි; අමතර සංඛ්‍යාව පළමු පදයෙන් අන්තරය අඩු කළ විට ලැබේ. සැමවිටම n = 1 ආදේශ කර පරීක්ෂා කරන්න.

Tₙ = d × n + (T₁ − d)

✏️ Tₙ සොයා 20 වන පදය සොයමු

7, 11, 15, 19, … රටාව සඳහා (i) සාධාරණ පදය (ii) 20 වන පදය සොයන්න.

1අන්තරය d = 11 − 7 = 4.
2අමතර සංඛ්‍යාව = T₁ − d = 7 − 4 = 3, එබැවින් Tₙ = 4n + 3.
3පරීක්ෂාව: n = 2 නම් 8 + 3 = 11 ✓
4(ii) T₂₀ = 4 × 20 + 3 = 83.

✅ (i) Tₙ = 4n + 3 (ii) 83

⚠️ පළමු පදය අමතර සංඛ්‍යාව ලෙස ගැනීම

5, 8, 11, … සඳහා බොහෝ සිසුන් Tₙ = 3n + 5 ලෙස ලියයි. n = 1 ආදේශ කරන්න: 3 + 5 = 8, නමුත් පළමු පදය 5 යි. ✗ අමතර සංඛ්‍යාව T₁ − d = 5 − 3 = 2 නිසා 3n + 2 ලැබේ. n = 1 ආදේශ කිරීමට තත්පර පහක් ගත වන අතර එය සැමවිටම මෙම වැරැද්ද අල්ලා ගනී.

✏️ අඩු වන රටාවක්

30, 26, 22, 18, … හි සාධාරණ පදය හා 9 වන පදය සොයන්න.

1d = 26 − 30 = −4 (පද අඩු වන නිසා ඍණයි).
2අමතර සංඛ්‍යාව = 30 − (−4) = 34.
3Tₙ = −4n + 34; සාමාන්‍යයෙන් 34 − 4n ලෙස ලියයි. n = 1 නම්: 30 ✓
4T₉ = 34 − 36 = −2.

✅ Tₙ = 34 − 4n, T₉ = −2

⚠️ n ආරම්භ වන්නේ 1 නි; එය පූර්ණ විය යුතුය

වාර විභාගවල දකින වැරදි දෙකක්: n = 0 ගෙන පළමු පදය සෙවීම (25 − 3n සඳහා එයින් 25 ලැබේ, නමුත් T₁ = 22), සහ n = 17⅓ "17 වන පදය" ලෙස පිළිගැනීම. n = 0 හි පළමු පදයක් හෝ 17⅓ වන පදයක් නැත. n පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් නොවේ නම් එම අගය රටාවේ නැත.

ගිනිකූරු රටාවක්

සෑම නව සමචතුරස්‍රයකටම තවත් කූරු 3 ක් අවශ්‍ය නිසා කූරු ගණන් 4, 7, 10, … හි අන්තරය 3 වන අතර Tₙ = 3n + 1 වේ.

දැනගත යුතු විශේෂ රටා

• ඉරට්ටේ සංඛ්‍යා 2, 4, 6, … Tₙ = 2n• ඔත්තේ සංඛ්‍යා 1, 3, 5, … Tₙ = 2n − 1• සමචතුරස්‍ර සංඛ්‍යා 1, 4, 9, 16, … Tₙ = n²• ත්‍රිකෝණ සංඛ්‍යා 1, 3, 6, 10, 15, … (2, ඉන්පසු 3, ඉන්පසු 4 … එකතු වේ) Tₙ = n(n + 1)/2• භාග 1/2, 2/3, 3/4, … Tₙ = n/(n + 1): ලවය හා හරය වෙන වෙනම බලන්න.

📌 මතක තබා ගන්න

• පොදු අන්තරය d = ඕනෑම පදයක් − ඊට පෙර පදය.• Tₙ = d × n + (T₁ − d). n = 1 ආදේශ කර පරීක්ෂා කරන්න.• පදයක් සෙවීමට n ආදේශ කරන්න. කීවන පදයදැයි සෙවීමට Tₙ = අගය විසඳන්න.• n පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් නොවේ නම් එම අගය පදයක් නොවේ.• 2n, 2n − 1, n² හා n(n + 1)/2 මතක තබා ගන්න.

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

පොදු අන්තරය	ඕනෑම පදයකින් ඊට පෙර පදය අඩු කිරීම
d හා T₁ ඇසුරින් සාධාරණ පදය	Tₙ = d × n + (T₁ − d) ලෙස ලියයි
ඔත්තේ සංඛ්‍යාවල සාධාරණ පදය	2n − 1 වේ
සමචතුරස්‍ර සංඛ්‍යාවල සාධාරණ පදය	n² වේ
පළමු ත්‍රිකෝණ සංඛ්‍යා පහ	1, 3, 6, 10, 15 (Tₙ = n(n + 1)/2) වේ
3n − 10 හි 42 පදයක් නොවන බව පෙන්වන්නේ කෙසේද?	3n − 10 = 42 නම් n = 17⅓; එය පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් නොවේ.
30, 26, 22, … හි Tₙ	34 − 4n වේ