සමාන්තර ශ්‍රේඪි: කෙටි සටහන්

Grade 10 · Arithmetic Progressions

70%

10 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (54න් 38)

376

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 42)

11 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

සමාන්තර ශ්‍රේඪියක් හඳුනාගෙන එහි පළමු පදය හා පොදු අන්තරය සෙවීම
Tₙ = a + (n − 1)d මගින් ඕනෑම පදයක් සෙවීම
සංඛ්‍යාවක් කීවෙනි පදය දැයි හෝ පදයක් නොවන බව පෙන්වීම
දී ඇති පද දෙකකින් a හා d සෙවීම
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] මගින් එකතු සොයා වචන ගැටලු විසඳීම

කැට මුදල් සැලැස්ම

ගාල්ලේ නෙත්මි පළමු සතියේ කැටයට රු. 50 ක් දමයි; ඉන්පසු සෑම සතියකම පෙර සතියට වඩා රු. 10 ක් වැඩිපුර දමයි. 20 වන සතියේ ඇය දමන්නේ කීයද? එතෙක් ඉතිරි කළ මුළු මුදල කීයද? සංඛ්‍යා විස්සක් අතින් එකතු කිරීම කාලය නාස්ති කිරීමකි. සමාන්තර ශ්‍රේඪි මගින් පේළි දෙකකින් එය විසඳිය හැකියි.

සමාන්තර ශ්‍රේඪියක් යනු?

ඊළඟ පදය ලබා ගැනීමට සෑම විටම එකම ප්‍රමාණයක් එකතු කරන සංඛ්‍යා අනුක්‍රමයකි.• පළමු පදය a වේ.• එම නියත ප්‍රමාණය පොදු අන්තරය d = ඕනෑම පදයක් − එයට පෙර පදය.3, 7, 11, 15, … : a = 3, d = 420, 17, 14, … : a = 20, d = −3 (අඩු වන)2, 4, 8, 16 සමාන්තර ශ්‍රේඪියක් නොවේ: අන්තර වෙනස් වේ.

පිම්මන් ගණන් කරමු

a වලින් පටන්ගෙන සෑම පියවරකදීම d එකතු කරන්න. 5 වන පදයට යාමට පිම්ම 4 ක් පමණක් අවශ්‍යයි; එබැවින් T₅ = a + 4d. පොදුවේ n වන පදයට පිම්ම (n − 1) ක් අවශ්‍ය වේ.

🧮 n වන පදය

සියලු පද ලියන්නේ නැතිව ඕනෑම පදයක් සෙවීමට හෝ දී ඇති අගයක් කීවෙනි පදය දැයි සෙවීමට මෙය යොදන්න. a පළමු පදය ද d පොදු අන්තරය ද වේ.

Tₙ = a + (n − 1)d

✏️ 20 වන පදය

7, 11, 15, … සමාන්තර ශ්‍රේඪියේ 20 වන පදය සොයන්න.

1a = 7, d = 11 − 7 = 4, n = 20.
2T₂₀ = 7 + (20 − 1) × 4 = 7 + 76
3T₂₀ = 83

✅ 83

එය කීවෙනි පදයද?

යම් සංඛ්‍යාවක් කීවෙනි පදය දැයි සෙවීමට Tₙ = එම සංඛ්‍යාව ලෙස ගෙන n විසඳන්න.• n ධන නිඛිලයක් නම් එය එම පදයයි.• n භාගයක් නම් එම සංඛ්‍යාව ශ්‍රේඪියේ පදයක් නොවේ. මෙය පෙන්වන්නට විභාගවල නිතර අසයි.

✏️ එය ශ්‍රේඪියේ පදයක්ද?

7, 11, 15, … සඳහා: (i) 143 කීවෙනි පදයද? (ii) 100 පදයක්ද?

1(i) 7 + (n − 1) × 4 = 143, එබැවින් (n − 1) × 4 = 136.
2n − 1 = 34, එබැවින් n = 35: 35 වන පදයයි.
3(ii) 7 + (n − 1) × 4 = 100 විට n − 1 = 23.25 ලැබේ.
4n = 24.25 නිඛිලයක් නොවන නිසා 100 පදයක් නොවේ.

✅ (i) 35th term (ii) No

⚠️ නිවැරදි පිළිවෙළට ඉවත් කරන්න

Tₙ = a + (n − 1)d දැනගෙනත් n සෙවීමේදී වැරදි ලෙස සුළු කරන සිසුන් පරීක්ෂකයන් දකී. පියවරෙන් පියවර ආපසු යන්න: a අඩු කරන්න, ඉන්පසු d න් බෙදන්න, ඉන්පසු 1 එකතු කරන්න.අඩු වන ශ්‍රේඪියකදී සෘණ ලකුණ තබා ගන්න: d = 46 − 50 = −4 මිස 4 නොවේ.

පද ඉක්මනින් එකතු කිරීම

1 + 2 + … + 100 එකතු කරන්න. එය ඉදිරියට හා ආපසු ලියා යුගල එකතු කරන්න: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98… සෑම යුගලයක්ම 101 වන අතර යුගල 100 ක් ඇත; එබැවින් එකතුව මෙන් දෙගුණය 100 × 101 වේ.එකතුව = 100 × 101 ÷ 2 = 5050.ඕනෑම සමාන්තර ශ්‍රේඪියකට මෙය යෙදේ: (පද ගණන ÷ 2) × (පළමු පදය + අවසාන පදය).

🧮 මුල් පද n හි එකතුව

a හා d දන්නා විට පළමු සූත්‍රය යොදන්න. පළමු පදය a හා අවසාන පදය l දන්නා විට දෙවැන්න යොදන්න.

Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] or Sₙ = n/2 (a + l)

⚠️ පදයද? එකතුවද?

නිතර වන වැරදි දෙකක්:1. පද 20 හි එකතුව අසන විට 20 වන පදය දීම. '20 වන සතියේ කීයද?' යනු Tₙ; 'මුළු ගණන කීයද?' යනු Sₙ.2. වරහන වැරදියට සුළු කිරීම. [2a + (n − 1)d] තුළ මුලින් (n − 1)d සොයා, 2a එකතු කර, ඉන්පසු පමණක් n/2 න් ගුණ කරන්න.

📌 මතක තබා ගන්න

• සමාන්තර ශ්‍රේඪියක සෑම විටම එකම පොදු අන්තරය d එකතු වේ: d = Tₙ − Tₙ₋₁.• n වන පදය: Tₙ = a + (n − 1)d.• කීවෙනි පදය දැයි සෙවීමට: Tₙ = අගය ලෙස ගන්න; n භාගයක් නම් එය පදයක් නොවේ.• එකතුව: Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] = n/2 (a + l).• හොඳින් කියවන්න: එක් පදයක්ද (Tₙ) එකතුවක්ද (Sₙ)?

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

පොදු අන්තරය d	ඕනෑම පදයකින් එයට පෙර පදය අඩු කිරීම.
සමාන්තර ශ්‍රේඪියක n වන පදය	Tₙ = a + (n − 1)d (a පළමු පදය)
මුල් පද n හි එකතුව (d සමඟ)	Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] සූත්‍රයයි
මුල් පද n හි එකතුව (අවසාන පදය l සමඟ)	Sₙ = n/2 (a + l) සූත්‍රයයි
සංඛ්‍යාවක් පදයක් නොවන බව පෙන්වන්නේ කෙසේද?	Tₙ = සංඛ්‍යාව විසඳන්න; n භාගයක් (නිඛිලයක් නොවන) ලෙස ලැබේ.
20, 17, 14, … හි d	−3 (අඩු වන ශ්‍රේඪියකි)
Sₙ දී ඇති විට පළමු හා දෙවන පද සොයන්නේ කෙසේද?	a = S₁ ද, T₂ = S₂ − S₁ ද වේ.
1 + 2 + 3 + … + 100 එකතුව	5050 යි