ද්විපද ප්‍රකාශන: කෙටි සටහන්

Grade 10 · Binomial Expressions

57%

10 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (54න් 31)

245

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 46)

10 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

(a + b)² හා (a − b)² ඉක්මනින් හා නිවැරදිව ප්‍රසාරණය කිරීම
(a + b)² හි ප්‍රසාරණය සමචතුරස්‍රයක වර්ගඵල ඇසුරින් පෙන්වීම
පූර්ණ වර්ගයක් සෑදීමට අවශ්‍ය නැති පදය සෙවීම
ද්විපදයක් ලෙස ලියා 102, 49 වැනි සංඛ්‍යා මනසින් වර්ග කිරීම
a + b (හෝ a − b) හා ab දී ඇති විට a² + b² සෙවීම

සීයාගේ එළවළු පාත්තිය

කුරුණෑගල සීයාගේ සමචතුරස්‍රාකාර එළවළු පාත්තියේ පැත්තක දිග x මීටර් වේ. ඔහු සෑම පැත්තක්ම 3 m කින් දිගු කරයි. නව වර්ගඵලය x² + 9 ද? x = 10 ලෙස ගෙන බලන්න: සැබෑ වර්ගඵලය 13² = 169 m² මිස 109 m² නොවේ. ද්විපදයක් වර්ග කළ විට බොහෝ දෙනා අමතක කරන මැද කොටසක් සැඟවී තිබේ.

ද්විපදයක් වර්ග කිරීම යනු කුමක්ද?

ද්විපදයක පද දෙකක් ඇත; උදා: x + 3 හෝ 2a − 5.එය වර්ග කිරීම යනු එයින්ම එය ගුණ කිරීමයි:(x + 3)² = (x + 3)(x + 3)= x² + 3x + 3x + 9= x² + 6x + 9මැද ගුණිත දෙක සමාන නිසා ඒවා එකතු වී 6x වේ.

(a + b)² වර්ගඵලයක් ලෙස

පැත්තක දිග a + b වූ සමචතුරස්‍රය a², b² සහ වර්ගඵලය ab වූ සෘජුකෝණාස්‍ර දෙකකට බෙදේ. එබැවින් (a + b)² = a² + 2ab + b².

🧮 එකතුවක වර්ගය

මෙසේ කියන්න: පළමු පදයේ වර්ගය, ධන 2 × පළමු පදය × දෙවන පදය, ධන දෙවන පදයේ වර්ගය. මෙහි a හා b සංඛ්‍යා, අක්ෂර හෝ 3x වැනි පද විය හැක.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

✏️ එකතුවක වර්ග ප්‍රසාරණය

ප්‍රසාරණය කරන්න: (i) (x + 4)² (ii) (2x + 3)²

1(i) පළමු පදයේ වර්ගය = x², 2 × x × 4 = 8x, දෙවන පදයේ වර්ගය = 16.
2එබැවින් (x + 4)² = x² + 8x + 16.
3(ii) පළමු පදයේ වර්ගය = (2x)² = 4x² මිස 2x² නොවේ.
4මැද පදය: 2 × 2x × 3 = 12x. අවසාන පදය: 3² = 9.
5එබැවින් (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9.

✅ (i) x² + 8x + 16 (ii) 4x² + 12x + 9

🧮 අන්තරයක වර්ගය

රටාව එසේමය; නමුත් මැද පදය ඍණ වේ. (−b) × (−b) = +b² නිසා අවසාන පදය සැමවිටම ධන වේ.

(a − b)² = a² − 2ab + b²

✏️ ලකුණු ගැන සැලකිලිමත් වන්න

ප්‍රසාරණය කරන්න: (i) (3y − 5)² (ii) (5 − 2p)²

1(i) (3y)² = 9y²; 2 × 3y × 5 = 30y; 5² = 25.
2මැද පදයට ඍණ ලකුණ ලැබේ: (3y − 5)² = 9y² − 30y + 25.
3(ii) මෙහි a = 5 හා b = 2p: 25 − 2 × 5 × 2p + 4p².
4එබැවින් (5 − 2p)² = 25 − 20p + 4p².

✅ (i) 9y² − 30y + 25 (ii) 25 − 20p + 4p²

⚠️ (a + b)² යනු a² + b² නොවේ

එක් සා.පෙළ ප්‍රශ්න පත්‍රයක ද්විපද වර්ග ප්‍රශ්නයක් නිවැරදි කළේ අපේක්ෂකයන් 100 න් 3 දෙනෙකු පමණි; බොහෝ දෙනා (x + y)² = x² + y² ලෙස ලිවූහ. සංඛ්‍යාවලින් පරීක්ෂා කරන්න: (3 + 4)² = 7² = 49, නමුත් 3² + 4² = 25. අඩු වූ 24 යනු 2ab = 2 × 3 × 4 යි. මැද පදය කිසිවිටෙක අත් නොහරින්න.

පූර්ණ වර්ගයක් සම්පූර්ණ කිරීම

x² + 10x + ☐ පූර්ණ වර්ගයක් වන්නේ ☐ යනු x හි සංගුණකයෙන් අඩෙහි වර්ගය වූ විටයි.10 න් අඩක් 5 යි; 5² = 25.එබැවින් x² + 10x + 25 = (x + 5)².x² − 10x + 25 නම් (x − 5)² වේ: මැද පදයේ ලකුණ වරහනට යයි.

විශාල සංඛ්‍යා මනසින් වර්ග කරමු

සංඛ්‍යාව වට සංඛ්‍යාවක් ආසන්නයෙන් කොටස් දෙකකට වෙන් කරන්න.102² = (100 + 2)² = 10000 + 400 + 4 = 1040498² = (100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 96049.9² = (10 − 0.1)² = 100 − 2 + 0.01 = 98.01

🧮 a හා b නොදැන a² + b² සෙවීම

ප්‍රසාරණ නැවත සකසා ලියන්න. a + b හා ab දන්නා විට පළමු ආකාරය ද, a − b හා ab දන්නා විට දෙවන ආකාරය ද යොදන්න.

a² + b² = (a + b)² − 2ab = (a − b)² + 2ab

⚠️ 2ab අඩු කිරීමට අමතක වීම

x² + y² = (x + y)² = 49 ලෙස ලිවීම හෝ ආරම්භ කරන්නේ කෙසේදැයි නොදැනීම පරීක්ෂකයන් වාර්තා කරයි. (x + y)² තුළ 2xy ද ඇති නිසා එය අඩු කරන්න: 49 − 20. මුලින් සර්වසාම්‍යය ලියා ඉන්පසු ආදේශ කරන්න. තවත් වැරැද්දක්: (☐ + 3)² වැනි හිස්තැනකදී වරහනට යන්නේ 9 නොව 3 යි.

📌 මතක තබා ගන්න

• (a + b)² = a² + 2ab + b²• (a − b)² = a² − 2ab + b² (අවසාන පදය සැමවිටම +)• 2ab මැද පදය කිසිවිටෙක අමතක නොකරන්න; පළමු පදය සම්පූර්ණයෙන් වර්ග කරන්න: (3x)² = 9x².• පූර්ණ වර්ගය: (x හි සංගුණකයෙන් අඩ)² එකතු කරන්න.• a² + b² = (a + b)² − 2ab = (a − b)² + 2ab

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

(a + b)² = ?	a² + 2ab + b² (මැද පදය 2ab)
(a − b)² = ?	a² − 2ab + b² (අවසාන පදය ධන)
ද්විපදයක් යනු කුමක්ද?	පද දෙකක් ඇති ප්‍රකාශනයක්; උදා: 2x − 5.
x² + 8x + ☐ පූර්ණ වර්ගයක් කරන පදය	16, මන්ද (8 ÷ 2)² = 16: (x + 4)²
a + b හා ab ඇසුරින් a² + b²	(a + b)² − 2ab ලෙස ලියයි
a − b හා ab ඇසුරින් a² + b²	(a − b)² + 2ab ලෙස ලියයි
ද්විපදයක් ඇසුරින් 103²	(100 + 3)² = 10000 + 600 + 9 = 10609 වේ
x + 1/x = k නම් x² + 1/x² = ?	k² − 2 වේ