වර්ගජ ප්‍රකාශනවල සාධක: කෙටි සටහන්

Grade 10 · Factors of Quadratic Expressions

85%

10 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (54න් 46)

350

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 67)

9 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

ගුණිතය හා එකතුව ඇසුරින් x² + bx + c සාධකවලට වෙන් කිරීම
සංඛ්‍යා දෙකේ ලකුණු නිවැරදිව තෝරා ගැනීම
මධ්‍ය පදය වෙන් කිරීමෙන් ax² + bx + c සාධකවලට වෙන් කිරීම
සාධකවලට වෙන් කිරීමට පෙර පොදු සාධකයක් හෝ −1 පිටතට ගැනීම
ප්‍රසාරණයෙන් සාධක නිවැරදිදැයි පරීක්ෂා කිරීම

නුවරඑළියේ කැරට් පාත්තියක්

නුවරඑළියේ ගොවියෙක් වර්ගඵලය x² + 7x + 12 වර්ග මීටර වූ සෘජුකෝණාස්‍රාකාර කැරට් පාත්තියක් සලකුණු කරයි. එහි දිග හා පළල කීයද? ප්‍රකාශනයේ සාධක සෙවීමෙන් පිළිතුර ලැබේ: (x + 3) m හා (x + 4) m. ඒවා සොයන ආකාරය ඉගෙන ගනිමු.

සාධකවලට වෙන් කිරීම ප්‍රසාරණයේ ප්‍රතිලෝමයයි

ප්‍රසාරණය කරන්න: (x + 3)(x + 4) = x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x + 12.හොඳින් බලන්න:• 3 + 4 = 7, x හි සංගුණකය• 3 × 4 = 12, නියත පදයx² + 7x + 12 වැනි ප්‍රකාශනයක පද තුනක් ඇති නිසා එය ත්‍රිපද වර්ගජ ප්‍රකාශනයකි. සාධකවලට වෙන් කිරීම යනු ආපසු යාමයි: x² + 7x + 12 සිට (x + 3)(x + 4) දක්වා.

පාත්තිය කොටස් හතරක් ලෙස

පාත්තිය x², 4x, 3x හා 12 ලෙස කොටස් හතරකට බෙදන්න. ඒවා එක්ව මුළු වර්ගඵලය වන අතර පාද (x + 3) හා (x + 4) වේ.

x² + bx + c සඳහා රීතිය

පහත දෙකම සපුරාලන සංඛ්‍යා දෙකක් සොයන්න:• ගුණිතය c වේ,• එකතුව b වේ.ලකුණු මගින් සෙවීම පහසු වේ:• c ධන, b ධන: සංඛ්‍යා දෙකම +• c ධන, b ඍණ: සංඛ්‍යා දෙකම −• c ඍණ: එකක් +, අනෙක −; විශාල සංඛ්‍යාවට b හි ලකුණ ලැබේ

✏️ ඉක්මන් උදාහරණ දෙකක්

සාධකවලට වෙන් කරන්න (i) x² − 9x + 20 (ii) x² + 2x − 15

1(i) ගුණිතය +20, එකතුව −9: දෙකම ඍණ. −4 × −5 = 20 හා −4 + −5 = −9.
2එබැවින් x² − 9x + 20 = (x − 4)(x − 5).
3(ii) ගුණිතය −15, එකතුව +2: ලකුණු වෙනස්, විශාල එක +. +5 × −3 = −15 හා 5 − 3 = 2.
4එබැවින් x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3). ප්‍රසාරණය කර පරීක්ෂා කරන්න.

✅ (i) (x − 4)(x − 5) (ii) (x + 5)(x − 3)

⚠️ යුගලය හමු නොවේද? සියල්ල ලියන්න

සා.පෙළ ප්‍රශ්න පත්‍රවල බොහෝ අපේක්ෂකයන්ට ගුණිතය −10 හා එකතුව 3 වන සංඛ්‍යා දෙක සොයාගත නොහැකි වූ අතර තුනෙන් එකක් පමණ ලකුණු බිංදුවක් ලැබූහ. අනුමාන නොකරන්න: ගුණිතයේ සියලු සාධක යුගල ලකුණු සමඟ ලියා, එක් එක් යුගලය එකතු කරන්න.1, −10 → −9−1, 10 → 92, −5 → −3−2, 5 → 3 ✓

x² ට සංගුණකයක් ඇති විට

ax² + bx + c (උදා: 2x² + 7x + 3) සඳහා:1. a × c ගුණ කරන්න (2 × 3 = 6).2. ගුණිතය a × c ද එකතුව b ද වන සංඛ්‍යා දෙක සොයන්න (6 හා 1).3. ඒවායින් මධ්‍ය පදය කොටස් දෙකකට වෙන් කරන්න: 2x² + 6x + x + 3.4. පද දෙක බැගින් සාධක ගන්න: 2x(x + 3) + 1(x + 3).5. පොදු වරහන පිටතට ගන්න: (x + 3)(2x + 1).

✏️ වාර විභාගවල නිතර එන එකක්

3x² − 5x − 2 සාධකවලට වෙන් කරන්න.

1a × c = 3 × (−2) = −6. ගුණිතය −6 හා එකතුව −5 වන්නේ −6 හා +1 ය.
2මධ්‍ය පදය වෙන් කරන්න: 3x² − 6x + x − 2.
3දෙක බැගින්: 3x(x − 2) + 1(x − 2).
4පොදු වරහන: (x − 2)(3x + 1).
5පරීක්ෂාව: 3x² + x − 6x − 2 = 3x² − 5x − 2 ✓

✅ (x − 2)(3x + 1)

⚠️ දෙවන යුගලයේ ලකුණු වැරැද්ද

2x² + 4x − 3x − 6 හි දෙවන යුගලය −3x − 6 ය. −3 පිටතට ගත් විට ලැබෙන්නේ −3(x + 2) මිස −3(x − 2) නොවේ; මන්ද −3 × +2 = −6 නිසා.වරහන් දෙක සමාන නොවේ නම් මුලින්ම මෙම ලකුණ පරීක්ෂා කරන්න. පොදු වරහන පිටතට ගැනීමට පෙර වරහන් දෙක සර්වසම විය යුතුයි.

සෑම විටම මුලින් පොදු සාධකය

සියලු පදවලට පොදු සාධකයක් ඇත්නම් එය මුලින්ම පිටතට ගන්න:2x² − 8x − 24 = 2(x² − 4x − 12) = 2(x − 6)(x + 2)x² පදය ඍණ නම් −1 පිටතට ගන්න:−x² + x + 6 = −(x² − x − 6) = −(x − 3)(x + 2)ඉන්පසු වරහන තුළ ඉතිරි කොටස සම්පූර්ණයෙන්ම සාධකවලට වෙන් කරන්න.

🧮 මූලික අදහස

p හා q සොයා, bx යන්න px + qx ලෙස වෙන් කර, පද දෙක බැගින් සාධක ගන්න. a = 1 නම් පිළිතුර සරලවම (x + p)(x + q) වේ.

ax² + bx + c : p + q = b , p × q = a × c

📌 මතක තබා ගන්න

• x² + bx + c: ගුණිතය c හා එකතුව b වන සංඛ්‍යා දෙකක්.• ax² + bx + c: ගුණිතය a × c හා එකතුව b; මධ්‍ය පදය වෙන් කර දෙක බැගින් සාධක ගන්න.• පොදු සාධකයක් (හෝ −1) ඇත්නම් මුලින්ම පිටතට ගන්න.• පොදු වරහන ගැනීමට පෙර වරහන් දෙක සමාන විය යුතුයි.• පිළිතුර ප්‍රසාරණය කර සෑම විටම පරීක්ෂා කරන්න.

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

x² + bx + c සාධකවලට වෙන් කිරීම	ගුණිතය c ද එකතුව b ද වන සංඛ්‍යා දෙකක් සොයන්න.
ax² + bx + c සාධකවලට වෙන් කිරීම	ගුණිතය a × c, එකතුව b; මධ්‍ය පදය වෙන් කර දෙක බැගින් සාධක ගන්න.
c ඍණ නම් ලකුණු?	එකක් +, අනෙක −; විශාල සංඛ්‍යාවට b හි ලකුණ.
c ධන, b ඍණ නම් ලකුණු?	සංඛ්‍යා දෙකම ඍණ වේ.
x² − 8x + 15 හි සාධක	(x − 3)(x − 5)
සියලු පදවලට පොදු සාධකයක් ඇත්නම් පළමු පියවර?	මුලින්ම පොදු සාධකය පිටතට ගන්න.
3x² + 2x − 5 හි සාධක	(3x + 5)(x − 1)
සාධක නිවැරදිදැයි බලන්නේ කෙසේද?	වරහන් ප්‍රසාරණය කරන්න; මුල් ප්‍රකාශනයම ලැබිය යුතුයි.