ද්විපද ප්‍රකාශන: කෙටි සටහන්

Grade 11 · Binomial Expressions

26%

11 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (61න් 16)

120

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 16)

9 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

(a + b)³ හා (a − b)³ ප්‍රසාරණය කර පද ලැබෙන ආකාරය පැහැදිලි කිරීම
(2x − 3)³ වැනි ඝන නිවැරදිව ප්‍රසාරණය කිරීම
102³, 99³ වැනි අගයන් ද්විපද ඝන මගින් සෙවීම
ප්‍රසාරණයක් ඝනයක් ලෙස හඳුනාගෙන එහි අගය සෙවීම
a ± b හා ab ඇසුරින් a³ + b³ හෝ a³ − b³ සෙවීම

තත්පර 10 අභියෝගය

ආපන ශාලාවේදී මිතුරා ඔබට අභියෝග කරයි: ඔහු දහයට ගණන් කර අවසන් වන්නට පෙර ගණක යන්ත්‍රයක් නැතිව 102³ සොයන්නට ඔබට නොහැකි බව. මෙම පරිච්ඡේදයේ එක් සර්වසාම්‍යයකින් තත්පර කිහිපයකින් 1 061 208 ලියා, ඔබට මාළු පාන් එකත් දිනාගත හැකියි.

වර්ගයේ සිට ඝනයට

ඔබ දැනටමත් දන්නා පරිදි: (a + b)² = a² + 2ab + b².ඝනයක් යනු සමාන සාධක තුනකි: (a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b).එබැවින් වර්ගය තවත් (a + b) කින් ගුණ කරන්න:(a + b)³ = (a + b)(a² + 2ab + b²).a + b හෝ 2x − 3 වැනි පද දෙකක් ඇති ප්‍රකාශනයක් ද්විපද ප්‍රකාශනයකි.

✏️ (a + b)³ ගොඩනැගීම

(a + b)(a² + 2ab + b²) ප්‍රසාරණය කරන්න.

1a × (a² + 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab²
2b × (a² + 2ab + b²) = a²b + 2ab² + b³
3එකතු කර සමජාතීය පද එක් කරන්න: a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

✅ a³ + 3a²b + 3ab² + b³

🧮 එකතුවක ඝනය

පද හතරකි. a හි බලය 3, 2, 1, 0 ලෙස අඩු වන අතර b හි බලය 0, 1, 2, 3 ලෙස වැඩි වේ. සංගුණක 1, 3, 3, 1 වේ.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

සැබෑ ඝනකයක් ලෙස බලමු

a + b දාරයක් ඇති ඝනකයක සෑම දාරයක්ම a හිදී කපන්න. කොටස් 8 ක් ලැබේ: a³ එකක්, a²b තුනක්, ab² තුනක් හා b³ එකක්. ඒවායේ පරිමා එකතුව (a + b)³ වේ.

🧮 අන්තරයක ඝනය

එකතුවේ සූත්‍රයම, නමුත් b වෙනුවට −b යොදන්න. ලකුණු +, −, +, − ලෙස මාරු වේ. −b හි ඔත්තේ බල සෘණ වේ.

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

⚠️ ඝනය a³ + b³ නොවේ

(a + b)² යන්න a² + b² ලෙස ලියන වැරැද්ද පරීක්ෂකයන් තවමත් දකී; ඝනවලදී ද එසේමය. සංඛ්‍යාවලින් පරීක්ෂා කරන්න: (1 + 2)³ = 3³ = 27, නමුත් 1³ + 2³ = 9. එම වෙනස සාදන්නේ මැද පද වන 3a²b හා 3ab² ය. සෑම විටම පද හතරම ලියන්න.

✏️ පළමු ප්‍රසාරණය

(x + 2)³ ප්‍රසාරණය කරන්න.

1a = x, b = 2.
2x³ + 3(x²)(2) + 3(x)(2²) + 2³
3= x³ + 6x² + 12x + 8

✅ x³ + 6x² + 12x + 8

⚠️ සම්පූර්ණ පදයම ඝන කරන්න

(2x)³ යනු 2x × 2x × 2x = 8x³ මිස 2x³ නොවේ. එසේම (2x)² = 4x². ඝන කිරීමට හෝ වර්ග කිරීමට පෙර එක් එක් පදය වරහන් තුළ තබා, ඉන්පසු සුළු කරන්න. ඉක්මන් පරීක්ෂාවක්: x = 1 ආදේශ කරන්න. (2 − 3)³ = −1 හා 8 − 36 + 54 − 27 = −1 ✓

🧮 ඝන දෙකක එකතුව හා අන්තරය

ඝන සර්වසාම්‍ය නැවත සකස් කිරීමෙන් ලැබේ. a හා b නොව, a + b (හෝ a − b) හා ab පමණක් දී ඇති විට මේවා යොදන්න.

a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) ; a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b)

📌 මතක තබා ගන්න

• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³• (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ (ලකුණු මාරු වේ)• පද හතරකි, සංගුණක 1, 3, 3, 1; කිසිවිටෙක a³ + b³ පමණක් නොවේ.• සම්පූර්ණ පදයම වරහන් කර ඝන කරන්න: (2x)³ = 8x³.• 102³ වැනි ගණනයට හා a ± b, ab දී ඇති විට a³ ± b³ සෙවීමට ඝන යොදන්න.

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

(a + b)³ ප්‍රසාරණය	a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (පද හතරකි)
(a − b)³ ප්‍රසාරණය	a³ − 3a²b + 3ab² − b³ (ලකුණු මාරු වේ)
ද්විපද ඝනයක සංගුණක	1, 3, 3, 1 වේ
(2x)³ හි අගය	8x³ (2x³ නොවේ)
a + b හා ab ඇසුරින් a³ + b³	(a + b)³ − 3ab(a + b) වේ
a − b හා ab ඇසුරින් a³ − b³	(a − b)³ + 3ab(a − b) වේ
(x + 1)³ ප්‍රසාරණය	x³ + 3x² + 3x + 1 වේ