ඝන වස්තුවල පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය: කෙටි සටහන්

Grade 11 · Surface Area of Solids

18%

11 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (61න් 11)

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 14)

12 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

සමචතුරස්‍ර පාදයක් සහිත සෘජු පිරමිඩයක මුළු පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය සෙවීම
සෘජු වෘත්ත කේතුවක වක්‍ර පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය හා මුළු පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය සෙවීම
කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩයක් නවා සාදන කේතුවක අරය හා උස සෙවීම
ගෝලයක හා අර්ධ ගෝලයක පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය සෙවීම
අවශ්‍ය විට පයිතගරස් සම්බන්ධය යොදා ඇල උස හෝ ලම්බ උස සෙවීම

චෛත්‍යය සුදු කරමු

වෙසක් වලට පෙර, ගමේ පන්සලේ කුඩා චෛත්‍යයේ ගර්භය සුදු කිරීමට දායකයෝ සූදානම් වෙති. තීන්ත වෙළෙන්දා අසන්නේ 'වර්ග මීටර කීයද?' යනුවෙනි. ගර්භය ආසන්න වශයෙන් අර්ධ ගෝලයකි. ගර්භ, කේතු හා පිරමිඩවල පිටත පෘෂ්ඨයේ වර්ගඵලය සොයන හැටි අද ඉගෙන ගනිමු; පාඩම අවසානයේ චෛත්‍යයට තීන්ත ද ලැබේ.

පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය යනු?

ඝන වස්තුවක පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය යනු එහි පිටත සියලු පෘෂ්ඨවල මුළු වර්ගඵලයයි (cm² හෝ m²).• තල මුහුණත්: එක් එක් මුහුණතේ වර්ගඵලය සොයා එකතු කරන්න (ඝන වස්තුවේ දැල විහිදා ඇති ලෙස සිතන්න).• කේතුවක, ගෝලයක හෝ අර්ධ ගෝලයක වක්‍ර පෘෂ්ඨයක් ඇත; ඊට වෙනම සූත්‍රයක් ඇත.මුළු පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය = වක්‍ර කොටස + තල මුහුණත්.

සමචතුරස්‍ර පාදක පිරමිඩය

පාදය: පැත්තක දිග a වූ සමචතුරස්‍රයකි. සමාන ත්‍රිකෝණාකාර මුහුණත් හතරකි. l = ඇල උස (ත්‍රිකෝණාකාර මුහුණතක උස). h = ශීර්ෂයේ සිට පාදයේ කේන්ද්‍රය O ට ලම්බ උස. පෘෂ්ඨ වර්ගඵලයට යොදන්නේ h නොව l ය.

🧮 සමචතුරස්‍ර පාදක පිරමිඩයේ මුළු පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය

සමචතුරස්‍ර පාදය හා ත්‍රිකෝණ හතර (එක එකක් ½ × ආධාරකය × ඇල උස). h පමණක් දී ඇත්නම් h, a/2 හා l පාද වූ සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණය යොදන්න: l² = h² + (a/2)².

A = a² + 4 × ½ × a × l = a² + 2al

✏️ පිරමිඩ මුදුනක් සහිත වෙසක් කූඩුවක්

වෙසක් කූඩුවක මුදුන පාදයේ පැත්තක දිග 10 cm හා ඇල උස 13 cm වූ සමචතුරස්‍ර පාදක පිරමිඩයකි. (i) පාදය ද ඇතුළුව මුළු පිරමිඩයේම කඩදාසි වර්ගඵලය (ii) එහි ලම්බ උස සොයන්න.

1පාදය = 10 × 10 = 100 cm².
2ත්‍රිකෝණ හතර = 4 × ½ × 10 × 13 = 260 cm².
3(i) මුළු වර්ගඵලය = 100 + 260 = 360 cm².
4(ii) h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, එබැවින් h = 12 cm.

✅ (i) 360 cm² (ii) 12 cm

සෘජු වෘත්ත කේතුව

r = පාදයේ අරය, h = ලම්බ උස, l = ඇල උස (ශීර්ෂයේ සිට පාදයේ දාරයට). මේවා සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක් සාදන නිසා l² = r² + h².

🧮 කේතුවක පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය

වක්‍ර පෘෂ්ඨය = πrl. ඝන කේතුවකට වෘත්තාකාර පාදයක් ද ඇති නිසා මුළු වර්ගඵලය = πrl + πr². විවෘත කේතුවකට (සාද තොප්පියක්, පුනීලයක්) ඇත්තේ වක්‍ර කොටස පමණි.

πrl πrl + πr²

✏️ ඝන කේතුවක්

ඝන කේතුවක පාදයේ අරය 7 cm ද ලම්බ උස 24 cm ද වේ. එහි මුළු පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය සොයන්න. (π = 22/7)

1l² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625, එබැවින් l = 25 cm.
2වක්‍ර පෘෂ්ඨය = 22/7 × 7 × 25 = 550 cm².
3පාදය = 22/7 × 7 × 7 = 154 cm².
4මුළු වර්ගඵලය = 550 + 154 = 704 cm².

✅ 704 cm²

කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩයක් කේතුවක් ලෙස නැවීම

කඩදාසි කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩයක සරල දාර දෙක එක් වන තුරු රෝල් කරන්න.• කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩයේ අරය කේතුවේ ඇල උස l වේ.• කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩයේ චාපය පාදය වටා යයි: චාපයේ දිග = 2πr.• කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩයේ වර්ගඵලය වක්‍ර පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය වේ.එබැවින් චාපය සොයා එය 2πr ට සමාන කර r විසඳන්න.

⚠️ කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩයේ අරය පාදයේ අරය නොවේ

එක් සා.පෙළ ප්‍රශ්න පත්‍රයක කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩයකින් සෑදූ කේතුවේ අරය නිවැරදිව සෙවූයේ අපේක්ෂකයන්ගෙන් 13% ක් පමණි. බොහෝ දෙනා කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩයේ අරය කේතුවේ අරය ලෙස ගත්හ. මුලින් කේතුවේ සටහනක් අඳින්න: කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩයේ අරය ශීර්ෂයේ සිට පාදයේ දාරයට යන නිසා එය ඇල උසයි. පාදයේ අරය ලැබෙන්නේ චාපය = 2πr මගිනි.

🧮 ගෝලය හා අර්ධ ගෝලය

එය සම්පූර්ණ ගෝලයකටයි. අර්ධ ගෝලයක වක්‍ර පෘෂ්ඨය එයින් භාගයකි: 2πr². ඝන අර්ධ ගෝලයකට πr² වූ තල වෘත්තයක් ද ඇති නිසා මුළු වර්ගඵලය 3πr² වේ. හිස් පාත්‍රයකට ඇත්තේ වක්‍ර කොටස පමණි.

A = 4πr²

⚠️ සැබවින්ම පිටත ඇත්තේ කුමන පෘෂ්ඨද?

එකතු කිරීමට පෙර ඔබට ස්පර්ශ කළ හැකි පෘෂ්ඨ මොනවාදැයි සිතන්න.• ඝන අර්ධ ගෝලය: 2πr² නොව 3πr².• අර්ධ ගෝලයක් මත ඇති කේතුවක්: එක් වන වෘත්තය ඇතුළත ඇති නිසා πrl + 2πr² පමණක් එකතු කරන්න.• πrl හෝ ½ × a × l තුළ ලම්බ උස h කිසිවිටෙක නොයොදන්න: අවශ්‍ය වන්නේ ඇල උසයි.

📌 මතක තබා ගන්න

• සමචතුරස්‍ර පාදක පිරමිඩය: a² + 2al (l = ඇල උස).• කේතුව: වක්‍ර πrl, මුළු πrl + πr²; l² = r² + h².• කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩයෙන් කේතුවට: ඛණ්ඩයේ අරය = l, චාපය = 2πr.• ගෝලය 4πr²; අර්ධ ගෝලය වක්‍ර 2πr², ඝන 3πr².• පිටත ඇති පෘෂ්ඨ පමණක් එකතු කරන්න.

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

සමචතුරස්‍ර පාදක පිරමිඩයේ මුළු පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය	a² + 2al (l = ඇල උස)
කේතුවක වක්‍ර පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය	πrl
ඝන කේතුවක මුළු පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය	πrl + πr²
කේතුවක r, h හා l අතර සම්බන්ධය	l² = r² + h² (පයිතගරස්)
ගෝලයක පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය	4πr²
ඝන අර්ධ ගෝලයක මුළු පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය	3πr² (වක්‍ර 2πr² + තල πr²)
කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩයක් කේතුවක් කළ විට ඇල උස වන්නේ කුමක්ද?	කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩයේ අරය. එහි චාපය පාදයේ පරිධිය වේ.