දර්ශක හා ලඝුගණක - I: කෙටි සටහන්

Grade 11 · Indices and Logarithms I

20%

11 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (61න් 12)

102

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 15)

12 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

ඍණ හා භාගික දර්ශක ඇතුළුව දර්ශක නීති භාවිතය
දෙපසම එකම පාදයේ බල ලෙස ලියා දර්ශක සමීකරණ විසඳීම
x^(2/3) = 9 වැනි, පාදය අඥාතය වූ සමීකරණ විසඳීම
දර්ශක ආකාරය හා ලඝුගණක ආකාරය අතර මාරු වීම
ලඝුගණක නීති භාවිතයෙන් ලඝුගණක සමීකරණ විසඳීම

වෙසක් පණිවිඩය

ඔබ වෙසක් දන්සල් දැන්වීමක් මිතුරන් 2 දෙනෙකුට යවයි. ඔවුන් එක් එක් අය එය තවත් 2 දෙනෙකුට යවයි; මෙසේ දිගටම. කී වටයකින් පසු එක් වටයකදී දුරකථන 1024 කට එය ලැබේද? ඔබට 2ˣ = 1024 විසඳිය යුතුයි. අඥාතය දර්ශකයේ ඇති සමීකරණ විසඳීම මෙම පාඩමේ මූලික අරමුණයි.

අවශ්‍ය දර්ශක නීති

• aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (ගුණ කිරීම → දර්ශක එකතු කරන්න)• aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (බෙදීම → අඩු කරන්න)• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (බලයක බලය → ගුණ කරන්න)• a⁰ = 1• a⁻ⁿ = 1/aⁿ (ඍණ දර්ශකය → පරස්පරය)උදා: 2³ × 2⁻⁵ = 2⁻² = 1/4.

🧮 භාගික දර්ශක

හරයේ සංඛ්‍යාව මූලය ද ලවයේ සංඛ්‍යාව බලය ද වේ. සංඛ්‍යා කුඩාව තබා ගැනීමට මුලින් මූලය ගන්න: 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4, 27^(−1/3) = 1/∛27 = 1/3.

a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ

⚠️ බලයක බලය: ගුණ කරන්න, එකතු නොකරන්න

සා.පෙළ පරීක්ෂකයන් දුටු පරිදි බොහෝ සිසුන් දර්ශක එකතු කර (a⁻²)³ = a¹ ලෙස හෝ ලකුණ නැති කර a⁶ ලෙස ලිවූහ. නීතිය (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ නිසා (a⁻²)³ = a^(−2 × 3) = a⁻⁶ = 1/a⁶. එකතු කරන්නේ එකම පාදය ගුණ කරන විට පමණි; උදා: a⁻² × a³ = a.

දර්ශක සමීකරණ විසඳීම

මූලික අදහස: aˣ = aʸ නම් x = y (පාද සමාන නිසා දර්ශක ද සමාන විය යුතුය).එබැවින්: 1. දෙපසම එකම පාදයේ බල ලෙස ලියන්න, 2. දර්ශක සමාන කරන්න, 3. විසඳන්න.2ˣ = 1024 → 2ˣ = 2¹⁰ → x = 10. 10 වන වටයේදී වෙසක් දැන්වීම දුරකථන 1024 කට ලැබේ.

✏️ පාද සමාන කිරීම

විසඳන්න: (i) 3^(x + 1) = 81 (ii) 9ˣ = 27

1(i) 81 = 3⁴ නිසා 3^(x + 1) = 3⁴.
2දර්ශක සමාන කරන්න: x + 1 = 4, එබැවින් x = 3.
3(ii) 9 හා 27 දෙකම 3 හි බල වේ: (3²)ˣ = 3³.
4එබැවින් 3²ˣ = 3³; 2x = 3, x = 3/2.

✅ (i) x = 3 (ii) x = 3/2

✏️ පිළිතුර ඍණ වන විට

විසඳන්න: (i) 2ˣ = 1/64 (ii) 8ˣ = 1/16

1(i) 64 = 2⁶ නිසා 1/64 = 2⁻⁶.
22ˣ = 2⁻⁶, එබැවින් x = −6.
3(ii) පාදය 2 ලෙස ගන්න: 8ˣ = (2³)ˣ = 2³ˣ හා 1/16 = 2⁻⁴.
43x = −4, එබැවින් x = −4/3.

✅ (i) x = −6 (ii) x = −4/3

⚠️ පරස්පරය නොසලකා හැරීම

එක් සා.පෙළ ප්‍රශ්න පත්‍රයක 2ˣ = 1/64 වැනි සමීකරණයක් විසඳුවේ අපේක්ෂකයන්ගෙන් තුනෙන් එකක් පමණි. බොහෝ දෙනා x = 6 ලෙස දුන්හ. නමුත් 2⁶ = 64 මිස 1/64 නොවේ. 1 බලයකින් බෙදූ භාගයක් යනු ඍණ දර්ශකයකි: 1/64 = 2⁻⁶, එබැවින් x = −6. සැමවිටම ආදේශ කර පරීක්ෂා කරන්න.

ලඝුගණක: දර්ශකවල අනෙක් පැත්ත

aˣ = N හා logₐ N = x එකම ප්‍රකාශයකි.2⁵ = 32 ⇔ log₂ 32 = 510² = 100 ⇔ lg 100 = 2 (lg යනු පාදය 10)නීති:• log(mn) = log m + log n• log(m/n) = log m − log n• log mⁿ = n log m• logₐ a = 1, logₐ 1 = 0

⚠️ lg 8 + lg 25 යනු lg 33 නොවේ

වාර විභාගවල නිතර දකින වැරැද්දක්: ලඝු තුළ ඇති සංඛ්‍යා එකතු කිරීම. ලඝුගණක එකතු කිරීමෙන් සංඛ්‍යා ගුණ වේ: lg 8 + lg 25 = lg 200. ලඝුගණක අඩු කිරීමෙන් බෙදේ. තවද lg(x + 3) යන්න lg x + lg 3 ලෙස වෙන් කළ නොහැක: එකතුවක ලඝුගණකයට නීතියක් නැත.

📌 මතක තබා ගන්න

• ගුණ කිරීම → දර්ශක එකතු කිරීම; බලයක බලය → දර්ශක ගුණ කිරීම.• a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ හා a⁻ⁿ = 1/aⁿ.• දර්ශක සමීකරණය: දෙපසම එකම පාදය කර දර්ශක සමාන කරන්න.• aˣ = N ⇔ logₐ N = x.• ලඝුගණක සමීකරණය: එක් එක් පස එක් ලඝුවක් කර, ලඝු ඉවත් කරන්න හෝ දර්ශක ආකාරයට හරවන්න. සෑම ලඝුවක් තුළම අගය ධන දැයි බලන්න.

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

(aᵐ)ⁿ = ?	aᵐⁿ (දර්ශක ගුණ කරන්න)
a⁻ⁿ = ?	1/aⁿ (පරස්පරය)
a^(m/n) = ?	(ⁿ√a)ᵐ: n වන මූලය, m වන බලය
aˣ = aʸ නම්…	x = y (දර්ශක සමාන කරන්න)
log₂ 32 = 5 දර්ශක ආකාරයෙන්	2⁵ = 32 ලෙස ලියයි
lg m + lg n = ?	lg mn (සංඛ්‍යා ගුණ වේ)
lg 2 ඇසුරින් lg 20	lg 10 + lg 2 = 1 + lg 2 වේ
logₐ a හා logₐ 1	පිළිවෙළින් 1 හා 0