තාත්වික සංඛ්‍යා: කෙටි සටහන්

Grade 11 · Real Numbers

31%

11 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (61න් 19)

168

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 28)

12 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

දශම ස්වරූපය ඇසුරින් පරිමේය හා අපරිමේය සංඛ්‍යා වෙන් කර හඳුනා ගැනීම
සමාවර්ත දශමයක් භාගයක් බවට හැරවීම
√2 වැනි අපරිමේය සංඛ්‍යා සංඛ්‍යා රේඛාව මත පිහිටුවීම
කරණී සරලම ආකාරයෙන් හා පූර්ණ කරණී ලෙස ලිවීම
කරණී එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම හා බෙදීම
√b ආකාරයේ හරයක් පරිමේය කිරීම

වඩුවාගේ විකර්ණය

මොරටුවේ වඩුවෙක් 1 m × 1 m සමචතුරස්‍රාකාර මේස ලෑල්ලක් සාදයි. එහි විකර්ණය √2 m කි. ඔහුගේ ගණක යන්ත්‍රය 1.41421356… ලෙස පෙන්වයි; ඉලක්කම් කිසිදා අවසන් නොවන අතර පුනරාවර්තනය ද නොවේ. මෙවැනි සංඛ්‍යා භාග නොවේ. මෙම පාඩමෙන් සෑම සංඛ්‍යාවක්ම නියම පවුලට වෙන් කරමු.

පරිමේය සංඛ්‍යා

p හා q නිඛිල වී q ≠ 0 වන විට p/q ලෙස ලිවිය හැකි සංඛ්‍යාවක් පරිමේය සංඛ්‍යාවකි. උදා: 3/4, −5, 0.2.දශමයක් ලෙස එය අන්ත වේ: 3/8 = 0.375නැතහොත් සමාවර්ත වේ (කොටසක් නිමක් නැතිව පුනරාවර්තනය වේ):2/3 = 0.666… = 0.6̇5/11 = 0.4545… = 0.4̇5̇තිත් මගින් පුනරාවර්තන කොටස දැක්වේ.

✏️ සමාවර්ත දශමයක් භාගයකට

0.4̇5̇ (= 0.4545…) සරලම ආකාරයේ භාගයක් ලෙස ලියන්න.

1x = 0.4545… යැයි ගනිමු
2ඉලක්කම් දෙකක් පුනරාවර්තනය වන නිසා 100 න් ගුණ කරන්න: 100x = 45.4545…
3අඩු කරන්න: 100x − x = 45, එබැවින් 99x = 45
4x = 45/99 = 5/11

✅ 5/11

අපරිමේය හා තාත්වික සංඛ්‍යා

p/q ලෙස ලිවිය නොහැකි සංඛ්‍යාවක් අපරිමේය සංඛ්‍යාවකි. එහි දශම කිසිදා අවසන් නොවන අතර පුනරාවර්තනය ද නොවේ: √2, √3, √5, π.පරිමේය හා අපරිමේය සංඛ්‍යා එක්ව තාත්වික සංඛ්‍යා වේ. සෑම තාත්වික සංඛ්‍යාවක්ම සංඛ්‍යා රේඛාවේ එක් ලක්ෂ්‍යයකි.ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

සංඛ්‍යා රේඛාව මත √2

0 සිට 1 දක්වා ඒකක සමචතුරස්‍රයක් අඳින්න. එහි විකර්ණය √2 කි (පයිතගරස්: 1² + 1² = 2). 0 කේන්ද්‍රය කර කවකටුවෙන් විකර්ණය පහළට කරකවන්න: එය හරියටම √2 ≈ 1.41 මත වැටේ.

⚠️ 22/7 යනු π නොවේ

22/7 භාගයක් නිසා එය පරිමේයයි. π අපරිමේයයි; 22/7 යනු පහසු ආසන්න අගයක් පමණි (3.142… හා 3.14159…).තවද, දිගු දශමයක් ස්වයංක්‍රීයව අපරිමේය නොවේ. 0.1̇2̇ = 12/99 පරිමේයයි, මන්ද එහි කොටසක් පුනරාවර්තනය වේ.

සරලම කරණී ආකාරය

√2, √50 වැනි අපරිමේය මූලයක් කරණියකි.විශාලතම පූර්ණ වර්ග සාධකය සමඟ √(ab) = √a × √b යොදන්න:√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2√48 = √(16 × 3) = 4√3ආපසු හැරවූ විට පූර්ණ කරණියක් ලැබේ: 3√5 = √(9 × 5) = √45.

සමජාතීය කරණී එකතු කිරීම

√2 යන්න x අක්ෂරයක් මෙන් සලකන්න: 3x + 5x = 8x මෙන්ම 3√2 + 5√2 = 8√2.එකතු වන්නේ සමජාතීය කරණී (මූලය යට එකම සංඛ්‍යාව ඇති) පමණි.එකම ලෙස නොපෙනේ නම් මුලින් සුළු කරන්න:√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3√2 + √3 එකතු කළ නොහැක.

⚠️ √2 + √3 යනු √5 නොවේ

පරීක්ෂා කරන්න: √2 + √3 ≈ 1.41 + 1.73 = 3.14, නමුත් √5 ≈ 2.24. එකතුවක මූලය වෙන් නොවේ.සා.පෙළ පරීක්ෂකවරුන් පවසන පරිදි බොහෝ දෙනා 6√2 වෙනුවට 2√18 වැනි, සරල නොකළ පිළිතුරු දෙති; √(ab) = √a × √b ද නොයොදති. සැමවිටම විශාලතම වර්ගය පිටතට ගන්න.

✏️ සුළු කර එකතු කරමු

√50 + √18 − √8 සුළු කරන්න.

1√50 = √(25 × 2) = 5√2
2√18 = √(9 × 2) = 3√2
3√8 = √(4 × 2) = 2√2
4සියල්ල සමජාතීය කරණී: 5√2 + 3√2 − 2√2 = 6√2

✅ 6√2

ගුණ කිරීම හා බෙදීම

පිටත සංඛ්‍යා එකිනෙක ද, මූලය යට සංඛ්‍යා එකිනෙක ද ගුණ කරන්න.2√3 × 5√6 = 10√18 = 10 × 3√2 = 30√2√a × √a = a, එබැවින් √7 × √7 = 7.බෙදීමද එලෙසමයි: 6√10 ÷ 3√2 = 2√5.

🧮 හරය පරිමේය කිරීම

හරයේ ඇති කරණියෙන් ලවය හා හරය ගුණ කරන්න. හරය පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් වන නිසා √3 = 1.732 වැනි දී ඇති මූලයකින් අගය සෙවීම පහසු වේ.

a/√b = (a × √b)/(√b × √b) = a√b/b

📌 මතක තබා ගන්න

• පරිමේය = p/q; එහි දශම අන්ත හෝ සමාවර්ත වේ. සමාවර්ත දශමයක් භාගයක් කිරීමට 10x, 100x… ගෙන අඩු කරන්න.• අපරිමේය: අවසන් නොවේ, පුනරාවර්තනය නොවේ (√2, π). පරිමේය + අපරිමේය = තාත්වික.• සරලම කරණිය: විශාලතම වර්ගය පිටතට ගන්න, √50 = 5√2.• එකතු වන්නේ සමජාතීය කරණී පමණි.• හරය පරිමේය කිරීම: a/√b = a√b/b.

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

පරිමේය සංඛ්‍යාවක් යනු?	p, q නිඛිල වී q ≠ 0 වන p/q ලෙස ලිවිය හැකි සංඛ්‍යාවකි.
අපරිමේය සංඛ්‍යාවක දශම ස්වරූපය?	කිසිදා අවසන් නොවේ, පුනරාවර්තනය නොවේ. උදා: √2 = 1.41421…
0.6̇ භාගයක් ලෙස?	භාගය: 2/3
√(ab) ට සමාන වන්නේ?	√a × √b ලෙස වෙන් කළ හැක
√75 සරලම ආකාරයෙන්?	√(25 × 3) = 5√3
සමජාතීය කරණී යනු?	මූලය යට එකම සංඛ්‍යාව ඇති කරණී. උදා: 2√5 හා 7√5.
a/√b හි හරය පරිමේය කරන්නේ කෙසේද?	ලවය හා හරය √b න් ගුණ කරන්න: a√b/b.
22/7 පරිමේයද?	ඔව්. එය අපරිමේය π හි ආසන්න අගයක් පමණි.