ප්‍රස්තාර: කෙටි සටහන්

Grade 11 · Graphs

66%

11 ශ්‍රේණියේ වාර පරීක්ෂණවල ඇතුළත් (61න් 40)

400

පසුගිය පත්‍රවල ලකුණු (ප්‍රශ්න 40)

12 min

ප්‍රශ්න සහිත සම්පූර්ණ පාඩම

🎯 ඉගෙන ගන්නා දේ

අගය වගුවක් ඇසුරින් වර්ගජ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්තාරය ඇඳීම
හැරුම් ලක්ෂ්‍යය, උපරිම හෝ අවම අගය හා සමමිති අක්ෂය කියවීම
මූල හා y ධන, සෘණ, වැඩි වන හෝ අඩු වන ප්‍රාන්තර සෙවීම
වර්ගජ ප්‍රකාශනයක් (x − a)² + b ආකාරයෙන් ලියා එහි ගුණ කියවීම
සිරස් විස්ථාපනයක් විස්තර කිරීම හා ප්‍රස්තාරයෙන් සමීකරණ විසඳීම, වර්ගමූල ආසන්න කිරීම

දිය දහරේ වක්‍රය

විහාරමහාදේවී උද්‍යානයේ දිය උල්පතක දිය දහරක් බලන්න. එය ඉහළ නැඟී, උපරිම ලක්ෂ්‍යයකදී හැරී, සමමිතික වක්‍රයක් ලෙස නැවත වැටේ. එම වක්‍රය වර්ගජ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්තාරයකි. එක් ප්‍රස්තාරයකින් උපරිම ලක්ෂ්‍යය, දිය වැටෙන තැන හා තවත් බොහෝ දේ කියවිය හැකියි.

වර්ගජ ශ්‍රිත

y = ax² + bx + c (a ≠ 0) ආකාරයේ ශ්‍රිතයක් වර්ගජ ශ්‍රිතයකි.එහි ප්‍රස්තාරය පරාවලයක් ලෙස හැඳින්වෙන සුමට වක්‍රයකි.• a > 0: ඉහළට විවෘත ∪; අවම ලක්ෂ්‍යයක් ඇත.• a < 0: පහළට විවෘත ∩; උපරිම ලක්ෂ්‍යයක් ඇත.ප්‍රස්තාරය දිශාව වෙනස් කරන ලක්ෂ්‍යය හැරුම් ලක්ෂ්‍යයයි.

ප්‍රස්තාරය ඇඳීම

1. අගය වගුව සම්පූර්ණ කරන්න: එක් එක් x අගය ශ්‍රිතයේ ආදේශ කරන්න. සෘණ අගය ගැන සැලකිලිමත් වන්න: (−2)² = 4.2. දී ඇති පරිමාණය භාවිත කර එක් එක් (x, y) ලක්ෂ්‍යය ලකුණු කරන්න.3. ලක්ෂ්‍ය එක් සුමට වක්‍රයකින් යා කරන්න; සරල රේඛාවලින් හෝ පතුලේ තියුණු කොනකින් නොවේ.y අගය හැරුම් ලක්ෂ්‍යය වටා සමමිතික වේ; එය ඔබේ වගුව පරීක්ෂා කිරීමට හොඳ ක්‍රමයකි.

ප්‍රස්තාරයක් කියවීම

y = x² − 2x − 3 හි ප්‍රස්තාරය. කඩ ඉර: සමමිති අක්ෂය x = 1. රතු තිත: අවම ලක්ෂ්‍යය (1, −4). තැඹිලි තිත්: වක්‍රය x අක්ෂය හමු වන x = −1 හා x = 3.

කියවිය යුතු කරුණු පහක්

• හැරුම් ලක්ෂ්‍යය: පහළම (හෝ ඉහළම) ලක්ෂ්‍යය, ඛණ්ඩාංක ලෙස.• අවම/උපරිම අගය: එහි y අගය පමණි; එක් සංඛ්‍යාවකි.• සමමිති අක්ෂය: හැරුම් ලක්ෂ්‍යය හරහා යන x = ... සිරස් රේඛාව.• ax² + bx + c = 0 හි මූල: වක්‍රය x අක්ෂය හමු වන (y = 0) x අගය.• ප්‍රාන්තර: y ධන/සෘණ වන, වැඩි වන/අඩු වන ප්‍රදේශ.

✏️ ප්‍රස්තාරය කියවන්න

ඉහත y = x² − 2x − 3 හි ප්‍රස්තාරය භාවිත කරන්න.

1අවම ලක්ෂ්‍යය (1, −4); එබැවින් අවම අගය −4.
2සමමිති අක්ෂය: x = 1.
3x² − 2x − 3 = 0 හි මූල: x = −1 හා x = 3.
4y සෘණ වන්නේ (x අක්ෂයට පහළ) −1 < x < 3 සඳහා.
5වමේ සිට දකුණට කියවන විට, x < 1 සඳහා y අඩු වේ; x > 1 සඳහා y වැඩි වේ.

✅ −4; x = 1; −1, 3

⚠️ ලක්ෂ්‍යයද? අගයද? අන්ත ලක්ෂ්‍ය එපා

විභාගයේ නිතර දකින වැරදි:• අවම අගය ඇසූ විට (1, −4) හෝ y = −4 ලිවීම. අගය −4 පමණි.• ප්‍රාන්තර ≤ සමඟ ලිවීම. x = −1 හා x = 3 දී y = 0; එය ධනත් සෘණත් නොවේ. එබැවින් y < 0 වන්නේ −1 < x < 3 සඳහා, තද අසමානතා ලකුණු සමඟ.• මූල වැරදියට කියවීම: ඒවා y = 0 වන තැන්ය; x = 0 වන තැන් නොවේ.

ඇඳීමකින් තොරව ශ්‍රිතයෙන්ම කියවිය හැක

ශ්‍රිතය වර්ග පූර්ණ ආකාරයෙන් ලියන්න:• y = (x − a)² + b → අවම ලක්ෂ්‍යය (a, b), අවම අගය b, අක්ෂය x = a.• y = b − (x − a)² → උපරිම ලක්ෂ්‍යය (a, b), උපරිම අගය b, අක්ෂය x = a.හේතුව: වර්ගයක් කිසි විටෙක සෘණ නොවේ; එබැවින් x = a විට (x − a)² අවම (0) වේ.

✏️ වර්ගය පූර්ණ කිරීම

y = x² + 6x + 4, (x + p)² + q ආකාරයෙන් ලියා හැරුම් ලක්ෂ්‍යය හා අවම අගය ලියන්න.

1x හි සංගුණකය දෙකෙන් බෙදන්න: 6 ÷ 2 = 3; එබැවින් (x + 3)² ගන්න.
2(x + 3)² = x² + 6x + 9; එය 5 කින් වැඩියි.
3y = (x + 3)² − 5
4හැරුම් ලක්ෂ්‍යය (−3, −5); අවම අගය −5; අක්ෂය x = −3.

✅ y = (x + 3)² − 5; (−3, −5)

⚠️ වරහන තුළ ලකුණ මාරු වේ

y = (x + 3)² − 2 සඳහා බොහෝ සිසුන් හැරුම් ලක්ෂ්‍යය (3, −2) ලෙස ලියති. නමුත් වරහන ශුන්‍ය වන්නේ x = −3 විටයි; එබැවින් ලක්ෂ්‍යය (−3, −2).වර්ගය පූර්ණ කළ පසු සෑම විටම විහිදා පරීක්ෂා කරන්න: (x + 3)² − 5 = x² + 6x + 9 − 5 = x² + 6x + 4 ✓

ප්‍රස්තාරය විස්ථාපනය

ශ්‍රිතයට k සංඛ්‍යාවක් එකතු කළ විට මුළු ප්‍රස්තාරයම k ඒකක ඉහළට යයි (k සෘණ නම් පහළට).y = (x − 1)² − 4, ඒකක 3 කින් ඉහළට ගෙන ගිය විට y = (x − 1)² − 1 වේ.• හැරුම් ලක්ෂ්‍යය (1, −4) සිට (1, −1) ට යයි.• සමමිති අක්ෂය x = 1 ලෙසම පවතී.• හැඩය වෙනස් නොවේ.

ප්‍රස්තාරයෙන් විසඳීම

y = ax² + bx + c හි ප්‍රස්තාරය සමීකරණ විසඳීමට යොදා ගත හැක:• ax² + bx + c = 0 හි මූල: වක්‍රය x අක්ෂය කපන x අගය කියවන්න.• ax² + bx + c = k විසඳීමට: y = k රේඛාව ඇඳ එය වක්‍රය කපන x අගය කියවන්න.මූල පූර්ණ සංඛ්‍යා නොවේ නම් දශමස්ථාන එකකට කියවන්න. මෙයින් වර්ගමූලයක් පවා ආසන්න කළ හැක.

📌 මතක තබා ගන්න

• y = ax² + bx + c: a > 0 නම් අවමයක් (∪), a < 0 නම් උපරිමයක් (∩).• y = (x − a)² + b: හැරුම් ලක්ෂ්‍යය (a, b), අක්ෂය x = a.• අවම අගය = එක් සංඛ්‍යාවකි; හැරුම් ලක්ෂ්‍යය = ඛණ්ඩාංක.• මූල: y = 0 වන තැන්. ප්‍රාන්තර < සමඟ (අන්ත ලක්ෂ්‍ය නැතිව).• k එකතු කිරීමෙන් ප්‍රස්තාරය k ඒකක ඉහළට යයි; අක්ෂය වෙනස් නොවේ.

🧾 ඉක්මන් පුනරීක්ෂණ පත්‍රිකාව

a < 0 විට y = ax² + bx + c හි හැඩය	පහළට විවෘතයි (∩); උපරිම ලක්ෂ්‍යයක් ඇත.
y = (x − a)² + b හි හැරුම් ලක්ෂ්‍යය	(a, b), අවම ලක්ෂ්‍යයකි
y = 3 − (x − 2)² හි සමමිති අක්ෂය	x = 2 (උපරිම ලක්ෂ්‍යය (2, 3))
ax² + bx + c = 0 හි මූල කියවන්නේ කොතැනින්ද?	ප්‍රස්තාරය x අක්ෂය කපන තැන් (y = 0).
අවම අගය හා අවම ලක්ෂ්‍යය	අගය: සංඛ්‍යාවකි (උදා: −4). ලක්ෂ්‍යය: ඛණ්ඩාංක (උදා: (1, −4)).
වර්ගය පූර්ණ කරන්න: x² − 4x + 1	(x − 2)² − 3
y = f(x), ඒකක 2 කින් පහළට	y = f(x) − 2; හැරුම් ලක්ෂ්‍යය ඒකක 2 ක් පහළට, අක්ෂය එලෙසම.